Quadrato della somma >= somma dei quadrati
Non senza una massiccia dose di vergogna, mi trovo in difficoltà a dimostrare che:
$ (sum t)^2>=sum t^2 $
Premessa: i termini sono tutti positivi.
Qualche suggerimento? Devo utilizzare l'induzione?
$ (sum t)^2>=sum t^2 $
Premessa: i termini sono tutti positivi.
Qualche suggerimento? Devo utilizzare l'induzione?
Risposte
Perchè no, proviamo a vedere cosa ti riesce con l'induzione. Posta qualche conto..
Ok 
(bella citazione)
In effetti mi sono già avventurato nell'induzione, ma a un certo punto non saprei come continuare (l'esame di discreta è stata taaaanto tempo fa (> 1 mese))
Partendo dall'ipotesi:
$ (sum m)^2 - sum m^2 >= 0 $
Il passo base è banale, $ 0 >= 0$
Per quello induttivo arrivo a sto punto:
ammesso e non concesso che non abbia scritto stupidaggini, adesso cosa si fa?
(bella citazione)In effetti mi sono già avventurato nell'induzione, ma a un certo punto non saprei come continuare (l'esame di discreta è stata taaaanto tempo fa (> 1 mese))
Partendo dall'ipotesi:
$ (sum m)^2 - sum m^2 >= 0 $
Il passo base è banale, $ 0 >= 0$
Per quello induttivo arrivo a sto punto:
ammesso e non concesso che non abbia scritto stupidaggini, adesso cosa si fa?
Hem:
[tex]\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n+1} m_i\right)^2-\sum_{i=1}^{n+1}m_i^2 ~=~ \left(\sum_{i=1}^{n} m_i\right)^2+2m_{n+1}\sum_{i=1}^{n} m_i -\sum_{i=1}^{n} m_i^2 ~\overset{\star}{\ge}~ 2m_{n+1}\sum_{i=1}^{n} m_i \ge~0[/tex]
dove in [tex]\star[/tex] si e' usata l'ipotesi induttiva. Sbaglio?
[tex]\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n+1} m_i\right)^2-\sum_{i=1}^{n+1}m_i^2 ~=~ \left(\sum_{i=1}^{n} m_i\right)^2+2m_{n+1}\sum_{i=1}^{n} m_i -\sum_{i=1}^{n} m_i^2 ~\overset{\star}{\ge}~ 2m_{n+1}\sum_{i=1}^{n} m_i \ge~0[/tex]
dove in [tex]\star[/tex] si e' usata l'ipotesi induttiva. Sbaglio?
Mumble mumble..
Sii più esplicito, cosa succede dalle parti della stelletta?
Hai sostituito con 0 la porcheria 1 e 3, dicendo "ah guarda nel peggiore dei casi vale 0, e anche così il termine 2 vince su 0"?
Sii più esplicito, cosa succede dalle parti della stelletta?
Hai sostituito con 0 la porcheria 1 e 3, dicendo "ah guarda nel peggiore dei casi vale 0, e anche così il termine 2 vince su 0"?
Dovrebbe essere:
[tex]\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} m_i\right)^2-\sum_{i=1}^{n}m_i^2 ~=~ \sum_{i=1}^{n} m_i^2+ 2\sum_{i,j=1,i \neq j}^{n} m_im_j -\sum_{i=1}^{n} m_i^2 ~\overset{\star}{\ge}~ 2\sum_{i,j=1,i \neq j}^{n} m_im_j \ge~0[/tex]
Per ragioni ovvie, se [tex]m_i \ge~0[/tex] anche il finale sarà [tex]\ge~0[/tex] senza lo scomodo dell'induzione.
[tex]\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} m_i\right)^2-\sum_{i=1}^{n}m_i^2 ~=~ \sum_{i=1}^{n} m_i^2+ 2\sum_{i,j=1,i \neq j}^{n} m_im_j -\sum_{i=1}^{n} m_i^2 ~\overset{\star}{\ge}~ 2\sum_{i,j=1,i \neq j}^{n} m_im_j \ge~0[/tex]
Per ragioni ovvie, se [tex]m_i \ge~0[/tex] anche il finale sarà [tex]\ge~0[/tex] senza lo scomodo dell'induzione.
Sii più esplicito, cosa succede dalle parti della stelletta?
Proprieta' di monotonia della somma
se $a-b>0$, $a+c-b>c$.
@Buddha
Certo.. ci sono adesso, grazie mille!
Ah volevo chiederti se, come passo-base, ha senso usare n=0, dal momento che i parte da 1... perchè in realtà la proprietà vale anche in assenza di termini m (giusto?). Come faccio ad esprimerlo correttamente?
@Lord
Grazie anche per la tua proposta, decisamente più sintetica ma, dal momento che ho una forma di taleggio al posto del cervello, anche piuttosto misteriosa
Certo.. ci sono adesso, grazie mille!
Ah volevo chiederti se, come passo-base, ha senso usare n=0, dal momento che i parte da 1... perchè in realtà la proprietà vale anche in assenza di termini m (giusto?). Come faccio ad esprimerlo correttamente?
@Lord
Grazie anche per la tua proposta, decisamente più sintetica ma, dal momento che ho una forma di taleggio al posto del cervello, anche piuttosto misteriosa
Osserva che:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex]\displaystyle (a_1+a_2+a_3)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+2a_1a_2+2a_2a_3+2a_3a_1 = \sum_{i=1}^3 a_i^2 + 2 \sum_{i,j=1, i \neq j}^3 a_ia_j[/tex]
e quindi giungi alla mia generalizzazione.
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex]\displaystyle (a_1+a_2+a_3)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+2a_1a_2+2a_2a_3+2a_3a_1 = \sum_{i=1}^3 a_i^2 + 2 \sum_{i,j=1, i \neq j}^3 a_ia_j[/tex]
e quindi giungi alla mia generalizzazione.
Molto figo Lord, però, scusa.. volendo essere rigorosi.. non bisognerebbe dimostrare ANCHE che la tua generalizzazione sia valida per n qualsiasi? Voglio dire, io ti credo vedendo i tuoi due esempi, ma un matematico bacchettone?
Anche questa per induzione! Ed anche qui non ci vuole molto 
Claro, ma senza 2X1 mi sa che prenderò la dimostrazione all-in-one 
Penso che dovresti e potresti provarci un pochetto anche tu. Le hint non ti sono mancate, manca solo un poca di pratica con l'induzione, se proprio preferisci guardare invece, qui sotto la dimostrazione della mia idea.
[tex](\sum_{i=1}^n a_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i\neqj}^n a_ia_j[/tex]
Proof:
per induzione su [tex]n[/tex].
[tex]n=1[/tex]: ovvia e banale
Passo induttivo [tex]P(n) \rightarrow P(n+1)[/tex]:
[tex]\displaystyle (\sum_{i=1}^n a_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i \neq j}^n a_ia_j[/tex]
[tex]\displaystyle (\sum_{i=1}^{n+1} a_i)^2 = (a_n+\sum_{i=1}^n a_i)^2=a_n^2+(\sum_{i=1}^n a_i)^2+2a_n\sum_{i=1}^na_i=a_n^2+\sum_{i=1}^n a_i^2+2\sum_{i,j=1 i \neq j}^n a_ia_j+2a_n\sum_{i=1}^na_i=\boxed{ \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i \neq j}^{n+1} a_ia_j}[/tex]
[tex](\sum_{i=1}^n a_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i\neqj}^n a_ia_j[/tex]
Proof:
per induzione su [tex]n[/tex].
[tex]n=1[/tex]: ovvia e banale
Passo induttivo [tex]P(n) \rightarrow P(n+1)[/tex]:
[tex]\displaystyle (\sum_{i=1}^n a_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i \neq j}^n a_ia_j[/tex]
[tex]\displaystyle (\sum_{i=1}^{n+1} a_i)^2 = (a_n+\sum_{i=1}^n a_i)^2=a_n^2+(\sum_{i=1}^n a_i)^2+2a_n\sum_{i=1}^na_i=a_n^2+\sum_{i=1}^n a_i^2+2\sum_{i,j=1 i \neq j}^n a_ia_j+2a_n\sum_{i=1}^na_i=\boxed{ \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 + 2\sum_{i,j=1 i \neq j}^{n+1} a_ia_j}[/tex]
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