Quadrati e primi in Zp

[Descartes1]

Salve, chiedo scusa per tediarvi ancora una volta, ma ho questo piccolo esercizio di aritmetica il cui secondo punto mi sta creando un po' di problemi. Riporto anche le soluzioni del primo punto e le idee che ho avuto nell'approcciare il secondo punto.

-Dato un primo dispari, dimostrare che in $\mathbb{Z}\_p$ ci sono $(p+1)/2$ quadrati.

Prima soluzione
Sia $\mathbb{Z}\_p^\star$ l'insieme degli invertibili di $\mathbb{Z}\_p$. Ora sappiamo che $\mathbb{Z}\_p\star={1,2,...,p-1}$ notiamo adesso che le coppie $(i,p-i)$ elevate al quadrato hanno lo stesso valore in $\mathbb{Z}\_p^\star$ infatti: $(p-i)^2=p^2+2p+i^2=i^2$ in $\mathbb{Z}\_p$ poiché $p$ è dispari ci sono $(p-1)/2$ coppie di questo tipo, notiamo che anche $0$ è un quadrato in $\mathbb{Z}\_p$ dunque i quadrati sono $(p-1)/2+1=(p+1)/2$

Seconda soluzione
Sia $\varphi$ $:$ $\mathbb{Z}\_p^\star$ $\rightarrow$ $\mathbb{Z}\_p^\star$ $\varphi : x \mapsto x^2$ Ora studiamo $ker\varphi$ abbiamo che $ker\varphi={x \in \mathbb{Z}\_p^\star | x^2=1}={1,p-1}$ dunque detto in $\mathbb{Z}\_p^\star$ $Q=Imm\varphi$ l'insieme dei quadrati sappiamo che esiste un isomorfismo tra $Q$ e $(\mathbb{Z}\_p^\star)/(ker\varphi)$ che ha cardinalità $(p-1)/2$ osservando che anche $0$ è un quadrato in $\mathbb{Z}\_p$ abbiamo che $|Q|=(p-1)/2+1=(p+1)/2$

-Dimostrare che per ogni primo $p$ dispari esistono $a,b$ tali che $p | a^2+b^2+1$

Di questa non sono riuscito a trovare la soluzione, ma riporto le idee che ho avuto (pensando in $\mathbb{Z}\_p$):

so dalla teoria che se $p=4n+1$ allora $-1$ è un quadrato in $\mathbb{Z}\_p^\star$ dunque basta scegliere uno fra $a,b$ divisibile per $p$ e l'altro di modo che elevato al quadrato sia $-1$ in $\mathbb{Z}\_p$ per il caso $p=4n+3$ buio.

Altra idea, poiché l'insieme dei quadrati ha cardinalità $(p+1)/2$ suppongo che sommando due quadrati possa avere almeno $p$ elementi con le combinazioni possibili, solo che non riesco a formalizzare questa cosa, ammesso e non concesso che sia giusta.

[Shocker1]

La prima soluzione del primo punto mi sembra corretta, la seconda penso sia giusta ma imprecisa verso la fine perché $Q$ contiene tutti i quadrati tranne zero, quindi $|Q| = \frac{p-1}{2}$ e $|Q uu {[0]_p}| = \frac{p+1}{2}$ dove quest'ultimo insieme è l'insieme dei quadrati in $Z_p$.

Per il secondo punto continua con la seconda idea: considera l'insieme $A = {a^2 | a \in Z_p}$ dei quadrati in $Z_p$, per il punto 1) la cardinalità di $A$ è $\frac{p+1}{2}$, considera ora l'insieme $B = {-1-b^2 | b \in Z_p}$, qual è la sua cardinalità? Per scoprirlo osserva che $(1+b)^2 = 1 + b^2$, quindi...

[Descartes1]

Non mi è per nulla chiaro il $(1+b)^2=1+2b+b^2=1+b^2)$

[Studente Anonimo]

Mi sembra più semplice osservare che ci sono più di $p/2$ quadrati e altrettanti elementi del tipo $-(b^2+1)$ quindi ci dev'essere un'intersezione.

[Shocker1]

"Descartes":Non mi è per nulla chiaro il $(1+b)^2=1+2b+b^2=1+b^2)$

Hai ragione, ho avuto una svista! Quella cosa non è vera in generale, scusa.
Comunque devi provare a dedurre la cardinalità di $B$ sfruttando il fatto che ci sono $\frac{p+1}{2}$ quadrati in $Z_p$, fatto ciò in pratica hai finito perché due sottoinsiemi di $Z_p$ di cardinalità $\frac{p+1}{2}$ hanno necessariamente intersezione non vuota.

Edit: Martino mi ha anticipato

Ciao

[Descartes1]

Grazie ad entrambi.