Quadrati

[miuemia]

cm faccio a dimostrare che in $bbF_p$ dove $p$ è un primo dispari ci sono $(p-1)/2$ quadrati e altrettanti non quadati????
grazie a tutti

[rubik2]

un paio di osservazioni prima di iniziare:
1 spero che con $bbF_p$ tu intenda $ZZ_p$ altrimenti ho fatto un esercizio diverso
2 ammesso che al punto 1 io abbia ragione $(p-1)/2+(p-1)/2=p-1$ ma in $ZZ_p$ abbiamo p elementi e i conti non tornano, suppongo quindi che tu intenda anche quadrati diversi da zero.(si può considerare lo zero un quadrato?)

parto osservando che se $n^2=m^2mod(p)->(n-m)(n+m)=0mod(p)$ quindi o $m=nquadmod(p)$ o $m=p-nquadmod(p)$

quindi devo contare quante coppie distinte n p-n ho in $ZZ_p$
1 p-1
2 p-2
....
n p-n

arriverò ad un certo punto in cui p-n è il consecutivo di n ed è l'ultima coppia che devo prendere perchè poi inizieranno a ripetersi $p-n=n+1->n=(p-1)/2$

quindi siamo arrivati abbiamo $(p-1)/2$ quadrati uno per ogni intero da $1$ a $(p-1)/2$, gli altri non saranno quadrati

spero sia corretto e chiaro

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Salve

Io direi: sia G il gruppo moltiplicativo $F_p-\{0\}$. G è finito di ordine p-1.

G è un gruppo abeliano, e quindi $f:G to G$, $x to x^2$ è un endomorfismo di G di nucleo $\{x \in G\ |\ x^2=1\}=\{1,-1\}$. Quindi se $p \ne 2$, $ker(f)$ è un sottogruppo di G di ordine 2. Ma allora $G^2=Im(f) \cong$ G/ker(f) e quindi $|G^2|=|G|/(|ker(f)|)=(p-1)/2$. Se p=2 abbiamo invece $G=G^2=\{1\}$.

[miuemia]

grazie mille a entrambi...e a presto