$QQ$-dimensione della sottoalgebra $QQ$ $[A]$ in $M_2$($QQ$)

[Cesc89]

Buongiorno, ho delle difficoltà con questo esercizio d'esame di algebra 2 abbastanza.

Nell'anello $M_2$($QQ$) si consideri la seguente matrice: $A=$$[[3,2],[-3,-4]]$.
Si consideri inoltre il seguente omomorfismo di $QQ$-algebre $\rho$ : $QQ$ $[x]$ $->$ $M_2$($QQ$) tale che $x$ $->$ $A$.
a) Provare che $\rho$ non è un omomorfismo ingettivo (Risolto con un controesempio)
b) Calcolare la $QQ$-dimensione della sottoalgebra $Im$ $\rho$ = $QQ$ $[A]$.
c) Determinare il nucleo di $\rho$.
d) Stabilire se l'anello $QQ$ $[A]$ è un dominio.

Credo che la mia difficoltà più grande stia nel fatto che non ho affatto idea di chi sia $QQ$ $[A]$ (con le parentesi quadre e A matrice!!!!). Inoltre non capisco perchè dà per scontato che $Im$ $\rho$ = $QQ$ $[A]$.
Libro consigliato: Piacentini-Cattaneo (su cui non ho trovato granchè). Vi ringrazio anticipatamente.

[Stickelberger]

Con $QQ[A]$ si intende la $QQ$-algebra generata da $A$.
Per definizione gli elementi di $QQ[A]$ sono della forma
$c_0\cdot id+c_1A+\ldots+c_dA^d$ dove i coefficienti $c_i$ stanno
in $QQ$ e $d$ e’ un qualunque intero non-negativo.

[vict85]

Non lo da per scontato, quella è la definizione di $QQ[A]$.

[Cesc89]

Ti ringrazio, ma come posso procedere per risolvere i vari punti? Potresti darmi delle indicazioni ? (senza entrare nel merito dei calcoli).

[vict85]

$QQ[A]\cong QQ[x]//I$ per un qualche ideale $I$. Sai inoltre che $I$ deve essere un ideale principale. Devi quindi identificare il polinomio che genera $I$.

[Cesc89]

"vict85":$ QQ[A]\cong QQ[x]//I $ per un qualche ideale $ I $.

Perchè $\rho$ è surgezione?

Sai inoltre che $ I $ deve essere un ideale principale.

Perchè $QQ$ è un campo?

Devi quindi identificare il polinomio che genera $ I $.

Come potrei procedere?

Chiaramente una volta scoperto chi è questo $ I $ il resto mi è chiaro

[killing_buddha]

"Cesc89":

Sai inoltre che $ I $ deve essere un ideale principale.

Perchè $QQ$ è un campo?

Cielo, no! Perche' $QQ[x]$$ e' un PID. Ma andiamo con ordine.

"Cesc89":
Nell'anello $ M_2 $($ QQ $) si consideri la seguente matrice: $ A= $$ [[3,2],[-3,-4]] $.
Si consideri inoltre il seguente omomorfismo di $ QQ $-algebre $ \rho $ : $ QQ $ $ [x] $ $ -> $ $ M_2 $($ QQ $) tale che $ x $ $ -> $ $ A $.
a) Provare che $ \rho $ non è un omomorfismo ingettivo (Risolto con un controesempio)

Concedimi cinque minuti per spiegarti cosa succede qui: come credo tu sappia, una K-algebra consta di un K-spazio vettoriale dotato di un prodotto che lo rende un anello commutativo; gli anelli dei polinomi, e gli anelli di matrici a coefficienti in un campo K sono esempi di tali strutture.

Ma gli anelli di polinomi sono K-algebre molto particolari! Essenzialmente, sono le K-algebre libere sull'insieme delle variabili; si tratta praticamente delle K-algebre dove sono presenti tutti i "prodotti formali" tra le variabili che fanno da indeterminate ai polinomi. Ora, una proprieta' generale di tutte le strutture libere generate da un certo insieme (chiamiamole $F(X)$, dove $X$ e' un insieme, e $F$ serve a ricordarti che la struttura che costruisci e' libera --free, appunto--) e' che un omomorfismo di K-algebre $F(X)\to A$ e' univocamente determinato da una funzione di insiemi $X\to A$. Questo significa che un omomorfismo di algebre da $K[x]$ verso un'altra algebra $A$ e' univocamente determinato dall'immagine dell'unica indeterminata $X$ (e dalla richiesta che tutto sia lineare), e piu' in generale che un omomorfismo $K[X_1,\dots, X_n]\to A$ viene univocamente determinato dall'immagine delle $n$ indeterminate.

Questo dovrebbe avere risolto anche il problema relativo a

Credo che la mia difficoltà più grande stia nel fatto che non ho affatto idea di chi sia $ QQ $ $ [A] $ (con le parentesi quadre e A matrice!!!!).

[Cesc89]

ok, ti ringrazio