Qp
Sia $Q_p$ il gruppo additivo dei numeri razionali della forma [tex]mp^n[/tex] dove m ed n sono interi e p è un primo fissato. Descrivere $End Q_p$ e $AutQ_p$.
Potete guidarmi nella risoluzione? E' il primo esercizio che faccio di questo tipo e a lezione non ne abbiamo fatti
Potete guidarmi nella risoluzione? E' il primo esercizio che faccio di questo tipo e a lezione non ne abbiamo fatti
Risposte
Ma intendi numeri interi o le frazioni [tex]$\frac{m}{p^n}$[/tex]?
Guarda, è la prima domanda che mi sono posto anche io, è un esercizio del Robinson ed è scritto proprio come io ho riportato
Considera l'isomorfismo(?) [tex]$\varphi:m\cdot p^n\in Q_p\to (m;n)\in\mathbb{Z}^2$[/tex] e... a meno di miei errori! 
Scusa, ma un endomorfismo, non dovrebbe essere una funzione di una struttura algebrica in se?
Sì però lavorare con $ZZ^2$ è più facile che lavorare con quel gruppo più particolare. Credo che il suggerimento fosse questo.
Non sono più tanto convinto che [tex]$\varphi$[/tex] sia un isomorfismo tra gruppi!
Anzi, a pensarci bene non lo è!
Anzi, a pensarci bene non lo è!
Ma per studiare l'endomorfo, devo prima prendere una applicazione e poi verificare che tale applicazione è un endomorfismo?......... 
Pensavo che sarebbe utile esplicitare l'operazione interna a [tex]$Q_p$[/tex]!
L'operazione del gruppo non è banale
[tex]a p^m+b p^n =
\begin{cases}
(a+b p^{n-m})p^m \quad \mtext{ se } \quad n>m \\
(b+a p^{m-n})p^n \quad \mtext{ se } \quad n \leqslant m
\end{cases}[/tex]
[tex]a p^m+b p^n =
\begin{cases}
(a+b p^{n-m})p^m \quad \mtext{ se } \quad n>m \\
(b+a p^{m-n})p^n \quad \mtext{ se } \quad n \leqslant m
\end{cases}[/tex]
Eh lo sò! Non mi vengono in mente altri suggerimenti. 
Prendi un endomorfismo [tex]f[/tex] di [tex]\mathbb{Q}_p[/tex] e prova a dimostrare che [tex]f(x) = x \cdot f(1)[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb{Q}_p[/tex] (la moltiplicazione [tex]\cdot[/tex] e' quella usuale di [tex]\mathbb{Q}[/tex]). Questo significa che ogni elemento di [tex]\text{End}(\mathbb{Q}_p)[/tex] e' univocamente determinato da un elemento di [tex]\mathbb{Q}_p[/tex]...
Si, più o meno avevo pensato anche io a ciò che hai detto, domani lo scrivo nel post nuovo
Gli endomorfismi di $Q_p$ ad ogni elemento $m*p^n$ di $Q_p$ associano un altro elemento di Q_p della stessa forma. Visto che stiamo considerando un gruppo additivo e dei particolari omomorfismi, è sufficiente come variano le immagini dei generatori $p^n$ al variare di n mediante gli endomorfismi considerati. I multipli di m sono ottenuti dalla condizione di omomorfismo.
Inoltre, anche dal fatto che $\varphi$ è un omomorfismo, otteniamo:
$\varphi (pp^n )=\varphi (p^n+...+p^n )=\varphi (p^n )+...+\varphi (p^n )=p \varphi (p^n)$
Ciò prova che le informazioni ottenibili su $\varphi (p^n )$ e $\varphi (p^(n+1) )$ non sono del tutto indipendenti; l’ultimo deve essere p volte il precedente; o analogamente il precedente deve essere $1/p$ volte il precedente. Da ciò segue che l’endomorfismo è completamente determinato da $\varphi (p^0 )=\varphi (1)$, che deve essere un elemento di $Q_p$. Osserviamo che $Q_p$ è un gruppo additivo e dunque $\varphi (1)$ non può essere 1. Ne consegue che tutti gli endomorfismi formano un insieme che è proprio $Q_p$ e questi ultimi, coma al solito, formano un semigruppo che non è altro che il semigruppo moltiplicativo formato da questi elementi, cioè $Q_p^*$.
Quindi abbiamo ottenuto che $EndQ_p=Q_p$. Gli automorfismi sono degli endomorfismi biettivi e quindi invertibili. A questo punto ci chiediamo che valore deve assumere $\varphi (1)$ affinché $\varphi (m*p^n)$ ricopra completamente $Q_p$. Se $\varphi (1)=m*p^n$ allora $p=(\varphi (1)/m)^(1/n)$. Dunque, al variare di m ed n l’espressione di $\varphi (1)$ scritta in precedenza assume sempre la stessa forma in Q_p?.
La radice n-esima sicuramente ci fa uscire fuori da $Q_p$. E quindi possiamo solo lavorare nel caso n=1 o n=-1, e se m non può essere una potenza di p. Ad ogni modo, secondo me, $\varphi (1)$ assume la forma $\pm p^n$. n è un intero e quindi $AutQ_p \cong Z xx Z_2$. Ossia l’automorfo di $Q_p$ è il prodotto tra i numeri interi a cui abbiamo assegnato una operazione additiva che , diciamo così, si occupa del variare delle potenze di p, e dei numeri interi modulo 2 responsabile del segno complessivo.
Inoltre, anche dal fatto che $\varphi$ è un omomorfismo, otteniamo:
$\varphi (pp^n )=\varphi (p^n+...+p^n )=\varphi (p^n )+...+\varphi (p^n )=p \varphi (p^n)$
Ciò prova che le informazioni ottenibili su $\varphi (p^n )$ e $\varphi (p^(n+1) )$ non sono del tutto indipendenti; l’ultimo deve essere p volte il precedente; o analogamente il precedente deve essere $1/p$ volte il precedente. Da ciò segue che l’endomorfismo è completamente determinato da $\varphi (p^0 )=\varphi (1)$, che deve essere un elemento di $Q_p$. Osserviamo che $Q_p$ è un gruppo additivo e dunque $\varphi (1)$ non può essere 1. Ne consegue che tutti gli endomorfismi formano un insieme che è proprio $Q_p$ e questi ultimi, coma al solito, formano un semigruppo che non è altro che il semigruppo moltiplicativo formato da questi elementi, cioè $Q_p^*$.
Quindi abbiamo ottenuto che $EndQ_p=Q_p$. Gli automorfismi sono degli endomorfismi biettivi e quindi invertibili. A questo punto ci chiediamo che valore deve assumere $\varphi (1)$ affinché $\varphi (m*p^n)$ ricopra completamente $Q_p$. Se $\varphi (1)=m*p^n$ allora $p=(\varphi (1)/m)^(1/n)$. Dunque, al variare di m ed n l’espressione di $\varphi (1)$ scritta in precedenza assume sempre la stessa forma in Q_p?.
La radice n-esima sicuramente ci fa uscire fuori da $Q_p$. E quindi possiamo solo lavorare nel caso n=1 o n=-1, e se m non può essere una potenza di p. Ad ogni modo, secondo me, $\varphi (1)$ assume la forma $\pm p^n$. n è un intero e quindi $AutQ_p \cong Z xx Z_2$. Ossia l’automorfo di $Q_p$ è il prodotto tra i numeri interi a cui abbiamo assegnato una operazione additiva che , diciamo così, si occupa del variare delle potenze di p, e dei numeri interi modulo 2 responsabile del segno complessivo.
E' un po' contorto. Una volta che hai dimostrato che [tex]\text{End}(\mathbb{Q}_p) \cong \mathbb{Q}_p[/tex] come anello, hai subito che [tex]\text{Aut}(\mathbb{Q}_p)[/tex] e' isomorfo come gruppo (con la composizione) al gruppo degli elementi invertibili di [tex]\mathbb{Q}_p[/tex] (rispetto alla moltiplicazione).
Osserva che e' meglio se usi bene il codice, altrimenti quello che scrivi non viene visualizzato sempre.
[tex]\varphi[/tex] = \varphi
[tex]\cong[/tex] = \cong
[tex]\pm[/tex] = \pm
[tex]...[/tex] = ...
[tex]m \cdot p^n[/tex] = m * p^n.
Ti ho un po' aggiustato l'intervento.
Osserva che e' meglio se usi bene il codice, altrimenti quello che scrivi non viene visualizzato sempre.
[tex]\varphi[/tex] = \varphi
[tex]\cong[/tex] = \cong
[tex]\pm[/tex] = \pm
[tex]...[/tex] = ...
[tex]m \cdot p^n[/tex] = m * p^n.
Ti ho un po' aggiustato l'intervento.
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