Q in R
Quali sono le condizioni necessarie per applicare tale propietà ?
Risposte
Devi avere $x,y in RR^+$ allora $exists n in NN$ :
$nx>y$
$nx>y$
Se ho $ a , b in R $ e so che $ a < b $ posso applicarla ?
Non proprio a meno che invece di $n in NN$ non prendi $z in ZZ$, per esempio $a<0$ e $b≥0$ come fai a trovare un $n in NN$ che funzioni?
Nel mio testo si applica la proprietà di archimede per dimostrare che $Q$ è denso in $R$ e fà la stessa cosa per dimostrare che $ R / Q $ è denso in $R$.
Il procedimento è questo: $ a < b $, siccome $ b - a > 0 $ per la proprietà di archimede..... non è sbagliato ? in questo modo $ a $ può essere negativa, quindi non è possibile applicare la proprietà di archimede, se è cosi, dove trovo le due dimotrazioni corette ?
edit: $ R / Q $ = R / Q
Il procedimento è questo: $ a < b $, siccome $ b - a > 0 $ per la proprietà di archimede..... non è sbagliato ? in questo modo $ a $ può essere negativa, quindi non è possibile applicare la proprietà di archimede, se è cosi, dove trovo le due dimotrazioni corette ?
edit: $ R / Q $ = R / Q
b-a>0 è vero ma non per Archimede, non c'entra un piffero 
Devi dimostrare che tra due numeri in $RR$ ne hai sempre uno in $RR\\QQ$, idee?
Devi dimostrare che tra due numeri in $RR$ ne hai sempre uno in $RR\\QQ$, idee?
Prendi due numeri reali, fai la loro media, questo numero o è irrazionale o è razionale. Se è irrazionale, sei apposto. Se è razionale, ci sarà una cifra dopo la quale disterà un certo valore dal primo dei due numeri reali, da quella cifra in poi ci attacchi i decimali di Pi Greco. Non so se è chiaro
Bisogna dimostrare $ EE r in $ $ RR $ \ $ QQ : r in \ ] a,b [ $ , cioè $ a < r < b $
sapendo che $ a , b in RR $ con $ a < b $ ,
procedendo con la media viene :
$ a < (a + b ) / 2 $
$ b > (a + b ) / 2 $ , dunque $ a < (a + b ) / 2 < b $
e poi.... ?
sapendo che $ a , b in RR $ con $ a < b $ ,
procedendo con la media viene :
$ a < (a + b ) / 2 $
$ b > (a + b ) / 2 $ , dunque $ a < (a + b ) / 2 < b $
e poi.... ?
Dividi un po' di casi:
C'è almeno uno dei due numeri irrazionale, allora è facile:
1)$a vv b in \mathbb{I} => (a+b)/2 in \mathbb{I}$
Sono entrambi razionali:
2)$ a ^^ b in QQ, a≠b => (a+b)/2 -a= (b-a)/2 >0$
Quindi esiste una certa cifra, nella rappresentazione decimale, dopo la quale i numeri $a$ e $(a+b)/2$ differiscono. Diciamo che differiscono alla $n-1\text{esima}$ cifra di un'unità.Allora prendiamo il numero $(a+b)/2$ e lo tronchiamo alla cifra successiva e a questo aggiungiamo $pi/10^n$:
$([(a+b)/2*10^n])/10^n + pi/10^n$
Con le quadre intendo la parte intera
Questo nuovo numero sarà compreso tra i due confini e sarà sicuramente irrazionale, essendo somma di un razionale e di un irrazionale.
Dimmi pure se non è chiaro
C'è almeno uno dei due numeri irrazionale, allora è facile:
1)$a vv b in \mathbb{I} => (a+b)/2 in \mathbb{I}$
Sono entrambi razionali:
2)$ a ^^ b in QQ, a≠b => (a+b)/2 -a= (b-a)/2 >0$
Quindi esiste una certa cifra, nella rappresentazione decimale, dopo la quale i numeri $a$ e $(a+b)/2$ differiscono. Diciamo che differiscono alla $n-1\text{esima}$ cifra di un'unità.Allora prendiamo il numero $(a+b)/2$ e lo tronchiamo alla cifra successiva e a questo aggiungiamo $pi/10^n$:
$([(a+b)/2*10^n])/10^n + pi/10^n$
Con le quadre intendo la parte intera
Questo nuovo numero sarà compreso tra i due confini e sarà sicuramente irrazionale, essendo somma di un razionale e di un irrazionale.
Dimmi pure se non è chiaro
Ti ho seguito fino al punto 2) , poi, da li, non mi torna $ ( a + b ) /2 - a = ( b - a ) /2 > 0 $ , come hai fatto ?
non dovrebbe essere $ ( a + b ) /2 - a = ( a + b ) /2 - a > 0 $
non dovrebbe essere $ ( a + b ) /2 - a = ( a + b ) /2 - a > 0 $
Fai il conto 
vero 
, ma che senso ha fare $ ( a + b ) /2 -a = ( b - a ) / 2 $ , se poi ragioni con $ ( a + b ) / 2 $ e $ a $ p.s. da li in poi non seguo più
, la rappresentazione decimale di cosa
Te lo faccio con un esempio pratico, si capisce meglio, prendi questi due numeri:
$0,56-0,63$
La loro media è:
$(0,56+0,63)/2=0,595$
Vediamo che la distanza tra la media e il primo elemento è pari a:
$(0,63-0,56)/2= 0,035$
Quindi la prima cifra decimale non nulla è quella che corrisponde a 10^-2. Allora noi troviamo il nostro numero irrazionale:
$[0,595 *10^3]/10^3 + pi/10^3= 595/10^3 + pi/10^3= (598,14...)/10^3= 0,59814... in \mathbb{I}$
$0,56-0,63$
La loro media è:
$(0,56+0,63)/2=0,595$
Vediamo che la distanza tra la media e il primo elemento è pari a:
$(0,63-0,56)/2= 0,035$
Quindi la prima cifra decimale non nulla è quella che corrisponde a 10^-2. Allora noi troviamo il nostro numero irrazionale:
$[0,595 *10^3]/10^3 + pi/10^3= 595/10^3 + pi/10^3= (598,14...)/10^3= 0,59814... in \mathbb{I}$
Siccome $ a < b $ , presumo $ a = - 0 , 63 $ e $ b = 0 , 56 $ , dunque $ ( a + b ) /2 = ( - 0 , 63 + 0 , 56 ) /2 = ( - 0 , 0 7) / 2 = - 0 , 035 $ , poi dici di prendere la distanza tra la media $ ( a + b ) /2 $ e il primo elemento, cioè $ a $ , dunque $ ( a + b ) / 2 - a = ( b - a ) / 2 = ( 0 , 56 + 0 , 63 ) / 2 = (1,18)/2 = 0,59 $ che è un numero razionale $ 59/100 $ , per non usare i numeri immaginari. e semplificarci le cose, forse sarebbe meglio spiegarmi la densità di $ QQ $ in $ RR $ , che devrebbe avere una procedura simile , comunque ho capito che per queste dimostrazioni usi la proprietà di densità di $ QQ $ 
Ho fatto una correzione Cavolo che sbadato che sono. E poi intendevo i numeri:
$a=0,56, b=0,63$
Per i razionali fai lo stesso procedimento e invece di aggiungere $pi$ tronchi e basta.
Cavolo che sbadato che sono. E poi intendevo i numeri:$a=0,56, b=0,63$
Per i razionali fai lo stesso procedimento e invece di aggiungere $pi$ tronchi e basta.
Cosa intendi per tronchi ?
Se un numero ha una certa quantità di cifre decimali, ti fermi ad una precisa cifra senza più scrivere quelle che seguono, questo vuol dire troncare Per esempio io so che $pi$ è $3,14$, in realtà sto troncando alla seconda cifra il numero $pi$
Per esempio io so che $pi$ è $3,14$, in realtà sto troncando alla seconda cifra il numero $pi$
Per chi legge questo post, sono partito dalla proprietà di archimede, per parlare della densita di $ QQ $ in $ RR $, quindi l'argomento è diventato questo.
Non mi è ancora chiaro come si fà a dimostrare che $ QQ $ è denso in $ RR $ ,
cioè con $ a , b in RR $ e $ a < b $
$ EE p in Q : p in ]a , b[ $ , quindi $ a < p < b $
se $ p = (b-a)/2 $ , come suggerisce Maci86 , come faccia a sapere, se una generica $p$ è esprimibile in forma razionale, cosi da risultare un numero razionale denso in $RR$ ?
Non mi è ancora chiaro come si fà a dimostrare che $ QQ $ è denso in $ RR $ ,
cioè con $ a , b in RR $ e $ a < b $
$ EE p in Q : p in ]a , b[ $ , quindi $ a < p < b $
se $ p = (b-a)/2 $ , come suggerisce Maci86 , come faccia a sapere, se una generica $p$ è esprimibile in forma razionale, cosi da risultare un numero razionale denso in $RR$ ?
Puoi fare così, premettendo che
Lemma. Ogni $S\subseteq ZZ$ limitato inferiormente ha minimo.
Prendiamo dunque $a,b\in RR$, con $a0$, quindi, per la proprietà di Archimede, $\exists n\in NN^\star$ tale per cui $n(b-a)>1$, ovvero $nb>1+na$. Per il Lemma, esiste il più piccolo intero $m$ tale che $na
\[na
\[a<\underbrace{\dfrac{m}{n}}_{=: q\in\mathbb{Q}}< b\]
Lemma. Ogni $S\subseteq ZZ$ limitato inferiormente ha minimo.
Prendiamo dunque $a,b\in RR$, con $a
\[na
\[a<\underbrace{\dfrac{m}{n}}_{=: q\in\mathbb{Q}}< b\]
Grazie Plepp , ma continuo a non capire perchè $ b - a > 0 $ presuppone che si possa applicare la propietà di archimede
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