P(X) isomorfo all'insieme delle funzioni da X in {0,1}

[WKerber]

Dimostrando la bigezione tra i due insiemi, mi è venuta questa idea di considerarli come due gruppi e far vedere che sono isomorfi. P(X) cioè l'insieme dei sottoinsiemi di X con l'operazione di intersezione, l'insieme delle funzioni da X in {0,1} che per comodità chiamerò F con l'operazione prodotto definita come segue:
[tex](f*g)(x)=f(x)g(x)[/tex]
Ora, l'isomorfismo l'ho descritto così:
[tex]\phi:P(X) \longrightarrow F \\A \longrightarrow f: x \rightarrow 1\ se\ x \in A, 0 \ altrimenti.[/tex]
Funziona tutto, l'unica cosa che non mi quadra è [tex]Ker\phi[/tex]
in quanto risulta essere {X} il che va bene, perchè X è l'elemento neutro di P(X) però mi sono accorto che anche il vuoto è un altro elemento neutro di quel gruppo! Ma l'elemento neutro non deve essere unico? QUindi non posso considerare l'insieme P(X) con l'intersezione un gruppo?
Grazie delle risposte! Un saluto a tutti.

[Studente Anonimo]

[tex]P(X)[/tex] con l'intersezione non è un gruppo, appunto. Se vuoi far funzionare il tuo ragionamento ti consiglio di usare invece l'operazione "differenza simmetrica": [tex]A \triangle B := (A-B) \cup (B-A)[/tex]. Con questa operazione [tex]P(X)[/tex] è un gruppo. E l'operazione da considerare in F diventa la somma, dopo aver posto [tex]1+1=0[/tex].

[WKerber]

ho capito.
ho scritto una cavolata nel messaggio precedente: il vuoto non è un elemento neutro. Mi sono confuso perchè prima avevo provato con l'unione... E quindi non essendo quello l'elemento neutro, ma X, il problema è che P(X) con l'intersez non è chiuso rispetto all'inverso, e quindi non è un gruppo. Che tristezza.

però è un isomorfismo quello:
[tex]\phi : P(X) \longrightarrow F \\
A \longrightarrow f:x\rightarrow[1] \ se\ x \in A, [0] \ altrimenti.[/tex]
con P(X) l'operazione di differenza simmetrica e F l'insieme delle funzioni da X nell'insieme degli interi modulo 2, con operazione [tex](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/tex]

grazie della risposta!