Puramente inseparabile \(\Rightarrow\)normale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Il mio libro dice che un'estensione algebrica $K\subset L$ di caratteristica $p>0$ puramente inseparabile, cioè tale che ogni elemento $\alpha\in L$ è radice di un polinomio inseparabile, cioè se ha polinomio minimo su $K$ del tipo $X^{p^{n}}-c$ con $c\in K,n\in\mathbb{N}$, allora è normale, condizione caratterizzata equivalentemente da
(i) ogni $K$-omomorfismo $L\to\bar{L}$ si restringe ad un automorfismo di $L$;
(ii) $L$ è un campo di spezzamento di una famiglia di polinomi di $K[X]$;
(iii) ogni polinomio irriducibile di $K[X]$ avente una radice in $L$ si spezza completamente in fattori lineari in $L[X]$.
Il mio testo dà la cosa per banale, ma io non vedo come si possa constatare quest'implicazione...
Suppongo che la cosa più immediata sia "\(L/K\) puramente inseparabile $\Rightarrow$ (iii)", ma non mi sembra tanto evidente...
Qualcuno sarebbe così compassionevole da spiegarmi quest'implicazione?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[Martino]

Beh se i polinomi irriducibili sono della forma [tex]X^{p^n}-c[/tex] allora su [tex]L[/tex] si spezzano come [tex](X-\alpha)^{p^n}[/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è una radice. Quindi (iii) è vero.

[DavideGenova1]

"Martino":Beh se i polinomi irriducibili sono della forma [tex]X^{p^n}-c[/tex] allora su [tex]L[/tex] si spezzano come [tex](X-\alpha)^{p^n}[/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è una radice. Quindi (iii) è vero.

Grazie di cuore, Martino! Come stavo scrivendo in questo momento poco dopo nel testo si dimostra che, se $L$ è puramente inseparabile su $K$, per ogni $\alpha\in L$ esiste un $n\in\mathbb{N}$ tale che $a^{p^n}\in K$.