Provare per induzione su n

[syxvicious]

Prima richiesta di aiuto, spero di comportarmi bene nel scrivere le formule...

Il mio problema è il seguente:

si provi per induzione su n che $n^3 - n + 6$ è multiplo di 3


La base induttiva è ovvia, ma non riesco a dimostrarlo per n...

[G.D.5]

Non devi dimostrarlo per [tex]n[/tex], ma per [tex]n+1[/tex]: supponi, cioè, che per un certo [tex]n[/tex] si abbia [tex]3 \mid n^{3}-n+6[/tex] e dimostra che da questo segue che anche per [tex]n+1[/tex] risulta [tex]3 \mid (n+1)^{3} - (n+1) + 6[/tex].

[misanino]

L'induzione funziona in questo modo.
Devi dimostrare che vale una certa cosa per n (ad esempio nel tuo caso devi mostrare che si ha $n^3-n+6$ multiplo di 3).
Allora si mostra che vale per un certo numero fissato (in genere 0 o 1) e nel tuo caso vale per 0 ad esempio ($0^3-0+6=6$ che è multiplo di 3).
Poi si assume che sia valido per n e lo si dimostra per n+1 (cioè nel tuo caso assumi che $n^3-n+6$ sia multiplo di 3 e devi dimostrare che anche $(n+1)^3-(n+1)+6$ è multiplo di 3).
Si procede così:
$(n+1)^3-(n+1)+6=n^3+1+3n+3n^2-n-1+6=n^3+3n^2+3n-n+6=3n^2+3n+(n^3-n+6)$.
Ma $n^3-n+6$ è multiplo di 3 per ipotesi di induzione. Poi $3n^2$ e $3n$ sono ovviamente multipli di 3. Allora il tutto è multiplo di 3, cioè $(n+1)^3-(n+1)+6$ è multiplo di 3 e hai concluso

[syxvicious]

Grazie mille della soluzione e della spiegazione... ora è tutto molto più chiaro!