Provare che $R[x]$ non è mai un campo
Come posso provare che l'anello $R[x]$ non è mai un campo, qualunque sia l'anello commutativo con identità $R$.
Risposte
Ad esempio, non esiste l'inverso (moltiplicativo) del polinomio $p(x)=x$
mi sapresti spiegare il perchè?
Comunque scegli in $R[x]$ un polinomio non nullo di grado $n in NN$ così fatto
$q(x)=a_n x^n +... +a_1 x +a_0$, (con $a_n!=0$),
hai che il grado di $x*q(x)$ è $n+1$, perchè il coefficiente di $x^(n+1)$ è $1*a^n= a^n!=0$.
Quindi $x*q(x)$ è sempre di grado almeno $1$.
Dunque non esiste alcun polinomio $q(x) in R[x]$ non nullo tale che $x*q(x)$ abbia grado $0$.
Pertanto non esiste alcun polinomio tale che $x*q(x)=1$, cioè non c'è l'inverso di $x$
$q(x)=a_n x^n +... +a_1 x +a_0$, (con $a_n!=0$),
hai che il grado di $x*q(x)$ è $n+1$, perchè il coefficiente di $x^(n+1)$ è $1*a^n= a^n!=0$.
Quindi $x*q(x)$ è sempre di grado almeno $1$.
Dunque non esiste alcun polinomio $q(x) in R[x]$ non nullo tale che $x*q(x)$ abbia grado $0$.
Pertanto non esiste alcun polinomio tale che $x*q(x)=1$, cioè non c'è l'inverso di $x$
Ma scusa se prima dici che $x*q(x)$ è sempre di grado almeno $1$.
Se applico la regola di addizione dei gradi ottengo: $delta(x*q(x))=delta(x)+delta(q(x)=1+n$ con $n >=0$ per lo più, $x*q(x)$ non a caso ha il grado che dev'essere almeno $1$, poi dopo scrivi:
Non esiste alcun polinomio $q(x) in R[x]$ non nullo tale che $x*q(x)$ abbia grado $0$. Pertanto non esiste alcun polinomio tale che: $x*q(x)=1$, quanto detto prima allora significa che il grado di $q(x)$ può anche essere uguale a $0$ se scrivi che:
$x*q(x)$ è sempre di grado ALMENO $1$, non trovi?
Se è vero che $delta(q(x))$ può essere uguale a $0$, significa che posso trovarmi nel caso in cui $x*q(x)=1$ e quindi $x$ ha inverso.
Se applico la regola di addizione dei gradi ottengo: $delta(x*q(x))=delta(x)+delta(q(x)=1+n$ con $n >=0$ per lo più, $x*q(x)$ non a caso ha il grado che dev'essere almeno $1$, poi dopo scrivi:
Non esiste alcun polinomio $q(x) in R[x]$ non nullo tale che $x*q(x)$ abbia grado $0$. Pertanto non esiste alcun polinomio tale che: $x*q(x)=1$, quanto detto prima allora significa che il grado di $q(x)$ può anche essere uguale a $0$ se scrivi che:
$x*q(x)$ è sempre di grado ALMENO $1$, non trovi?
Se è vero che $delta(q(x))$ può essere uguale a $0$, significa che posso trovarmi nel caso in cui $x*q(x)=1$ e quindi $x$ ha inverso.
"gaten":No.
Se è vero che $delta(q(x))$ può essere uguale a $0$, significa che posso trovarmi nel caso in cui $x*q(x)=1$ e quindi $x$ ha inverso.
Se il grado di $q(x)$ è $0$ allora $q(x)$è una costante non nulla, cioè $q(x)=a in R-{0}$.
Quindi $x*q(x)=ax$ che è di grado $1$
Ok, da questo allora aggiungiamo che in $R[x']$ gli elementi invertibili sono solo le costanti non nulle, giusto? Con quello che tu hai scritto dimostriamo che non esiste alcun inverso che è un polinomio di primo grado.
"gaten":Giusto
in $R[x']$ gli elementi invertibili sono solo le costanti non nulle, giusto?
"gaten":
Con quello che tu hai scritto dimostriamo che non esiste alcun inverso che è un polinomio di primo grado.
Volevi dire "... dimostriamo che non esiste inverso di alcun polinomio di primo grado"
In questo caso, sì, hai ragione.
"Gi8":Giusto[/quote]Non esattamente: gli elementi invertibili sono gli elementi di $R$ invertibili in $R$.
[quote="gaten"]in $R[x']$ gli elementi invertibili sono solo le costanti non nulle, giusto?
Martino, hai proprio ragione 
Grazie della correzione
Avevo dimenticato che $R$ è un anello commutativo unitario, e lo trattavo come se fosse un campo
Grazie della correzioneAvevo dimenticato che $R$ è un anello commutativo unitario, e lo trattavo come se fosse un campo
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