Prova ontologica dell'esistenza di dio
Sia dato un universo di enti $D$ non vuoto, assumiamo che l'ente $dio$ sia quello che appartiene a tutti i sottoinsiemi positivi $S$ di $D$. Indichiamo in simboli che $S$ è positivo con $Pos(S)$.
Inoltre assumiamo queste tre premesse:
$1) \forall S, T \subseteq D, Pos(S) \wedge Pos(T) \rightarrow Pos(S \cap T)$
$2) \forall S \subseteq D, Pos(S) \rightarrow S \not = \emptyset$
$3) \forall S \subseteq D, Pos(S) \vee Pos(C(S))$
$1)$ per tutti gli $S$, $T$ inclusi in $D$, se $S$ è positivo e $T$ è positivo anche l'insieme intersezione tra $S$ e $T$ è positivo.
$2)$ per ogni $S$ incluso in $D$, se $S$ è positivo allora è diverso dal vuoto
$3)$ per ogni $S$ incluso in $D$, o è positivo $S$ o è positivo il complemento di $S$ rispetto a $D$.
Dato l'insieme composto dagli insiemi positivi $P = \{S \subseteq D \mid Pos(S)\}$, se $D$ è finito si può dimostrare facilmente che l'intersezione generalizzata di tutti gli insiemi positivi è un singoletto ${a}$ per qualche $a \in D$.
In simboli
$\exists a \in D, \bigcap\limits_{S \in P} S = {a}$
Intuitivamente quindi esiste $dio$ dato che $a$ appartiene a tutti gli insiemi positivi ($a = dio$).
La mia domanda è questa:
dato un $D$ infinito si può costruire un modello dove sono vere le tre premesse e dove $\bigcap\limits_{S \in P} S = \emptyset$ ossia l'intersezione di tutti gli insiemi positivi è vuota?
Come si può dimostrare che esiste questo modello?
Inoltre assumiamo queste tre premesse:
$1) \forall S, T \subseteq D, Pos(S) \wedge Pos(T) \rightarrow Pos(S \cap T)$
$2) \forall S \subseteq D, Pos(S) \rightarrow S \not = \emptyset$
$3) \forall S \subseteq D, Pos(S) \vee Pos(C(S))$
$1)$ per tutti gli $S$, $T$ inclusi in $D$, se $S$ è positivo e $T$ è positivo anche l'insieme intersezione tra $S$ e $T$ è positivo.
$2)$ per ogni $S$ incluso in $D$, se $S$ è positivo allora è diverso dal vuoto
$3)$ per ogni $S$ incluso in $D$, o è positivo $S$ o è positivo il complemento di $S$ rispetto a $D$.
Dato l'insieme composto dagli insiemi positivi $P = \{S \subseteq D \mid Pos(S)\}$, se $D$ è finito si può dimostrare facilmente che l'intersezione generalizzata di tutti gli insiemi positivi è un singoletto ${a}$ per qualche $a \in D$.
In simboli
$\exists a \in D, \bigcap\limits_{S \in P} S = {a}$
Intuitivamente quindi esiste $dio$ dato che $a$ appartiene a tutti gli insiemi positivi ($a = dio$).
La mia domanda è questa:
dato un $D$ infinito si può costruire un modello dove sono vere le tre premesse e dove $\bigcap\limits_{S \in P} S = \emptyset$ ossia l'intersezione di tutti gli insiemi positivi è vuota?
Come si può dimostrare che esiste questo modello?
Risposte
In termini più "gugolabili", stai chiedendo se esiste un ultrafiltro non principale su $D$. La risposta è sì ma per questo serve l'assioma della scelta. L'idea è che (vedi: Tarski ultrafilter lemma) esiste un ultrafiltro su $D$ contenente tutti i sottoinsiemi cofiniti di $D$ (insiemi a complementare finito). L'ultrafiltro soddisfa gli assiomi di cui parli e l'intersezione dei suoi membri è vuota perché ovviamente l'intersezione dei sottoinsiemi cofiniti di $D$ è vuota.
Grazie, non sapevo dove e cosa cercare e non sapevo come dimostrarlo, ho trovato un testo in italiano.
Praticamente il filtro con i complementi dei finiti si può estendere ad un ultrafiltro dove ci sono o l'insieme o il complementare perché tutti i filtri possono essere estesi ad ultrafiltri.
Un'ultima domanda, ma se ai tre principi aggiungiamo che
$4) \exists A, B \subseteq D, A \subseteq B \wedge Pos(A) \wedge \neg Pos(B)$
in pratica imponiamo che $Pos$ non può essere un filtro e ultrafiltro
il sistema diventa contraddittorio?
Se
$A \subseteq B \wedge Pos(A) \wedge \neg Pos(B)$
poi da $Pos(C(B))$ e $Pos(A)$ segue che $C(B) \cap A = \emptyset$
La negazione di $4)$ si deriva dagli altri tre.
Praticamente il filtro con i complementi dei finiti si può estendere ad un ultrafiltro dove ci sono o l'insieme o il complementare perché tutti i filtri possono essere estesi ad ultrafiltri.
Un'ultima domanda, ma se ai tre principi aggiungiamo che
$4) \exists A, B \subseteq D, A \subseteq B \wedge Pos(A) \wedge \neg Pos(B)$
in pratica imponiamo che $Pos$ non può essere un filtro e ultrafiltro
il sistema diventa contraddittorio?
Se
$A \subseteq B \wedge Pos(A) \wedge \neg Pos(B)$
poi da $Pos(C(B))$ e $Pos(A)$ segue che $C(B) \cap A = \emptyset$
La negazione di $4)$ si deriva dagli altri tre.
Ma non la fece Gödel una prova ontologica dell'esistenza di Dio? E' questa?
Si alla prima domanda, penso di si alla seconda. Non ho letto nè la dimostrazione di Gödel (ancora) nè questa ma so che c'erano gli ultrafiltri.
Grazie della risposta.
Non l'ho mai cercata, perché tanto sapevo che non ci avrei capito molto.
Caso mai provo a leggere questa.
Non l'ho mai cercata, perché tanto sapevo che non ci avrei capito molto.
Caso mai provo a leggere questa.
"gabriella127":
Ma non la fece Gödel una prova ontologica dell'esistenza di Dio? E' questa?
Non conosco la versione originale del problema, là veniva usata mi pare la logica modale, questa è una versione semplificata di Odifreddi tratta da quella di Godel.
Siccome alla fine aggiungeva che per dimostrare l'esistenza di dio nei domini infiniti c'era bisogno di un assioma aggiuntivo (e cioé quello per cui "essere dio" produce un'estensione positiva, che implica banalmente per 2) che l'intersezione generalizzata degli insiemi positivi non è vuota) volevo capire come costruire il controesempio.
Grazie alla dritta di Martino ho capito come si dovrebbe procedere.
Sono un profano, anche se qualcosa riesco ad afferrarla, ogni tanto posto qua delle domande relative a certe mie curiosità
.
"bub":
La mia domanda è questa:
dato un $D$ infinito si può costruire un modello dove sono vere le tre premesse e dove $\bigcap_{S in P} = emptyset$ ossia l'intersezione di tutti gli insiemi positivi è vuota?
Come si può dimostrare che esiste questo modello?
Oh be', qui riconosco la zampata di Odifreddi, che vuole dimostrare la non esistenza di Dio.
Posso chiederti dove hai trovato questa versione di Odifreddi?
"gabriella127":
Posso chiederti dove hai trovato questa versione di Odifreddi?
Credo che si riferisca a questo.
Ne avevamo parlato qui 14 anni fa, wow come passa il tempo.
Grazie mille! Per una volta leggerò Odifreddi!
Scherzo, ma sono un po' refrattaria, perché è invasivo, e quando gli prende la fissazione della razionalità (che decide lui cosa sia) gli parte il cervello.
Scherzo, ma sono un po' refrattaria, perché è invasivo, e quando gli prende la fissazione della razionalità (che decide lui cosa sia) gli parte il cervello.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo