Proprietà strana di un gruppo e abelianità
Salve, sto cercando di ultimare la mia preparazione in vista dell'ormai imminente esame, ma ho ancora un problema che non so bene come prendere:
Sia G un gruppo con la seguente proprietà : per ogni sottoinsieme finito S di G il sottogruppo generato da S è ciclico.
1. Dimostrare che G è abeliano
2. Mostrare che G non è necessariamente ciclico (hint: prendere ad esempio G = $\mathbb{Q}$)
Sia G un gruppo con la seguente proprietà : per ogni sottoinsieme finito S di G il sottogruppo
1. Dimostrare che G è abeliano
2. Mostrare che G non è necessariamente ciclico (hint: prendere ad esempio G = $\mathbb{Q}$)
Risposte
Beh prendi come sottoinsieme finito un insieme con due elementi 
Credo sia così, correggimi se sbaglio:
Siano $x,y\inG$ e sia $S={x,y}$ dunque $S$ è ciclico in quanto finito, pertanto $\exists g \inG | = S$ $\exists n,m \inmathbb{N} | g^n=x, g^m=y$
Considero ora $xy=g^ng^m=g^(n+m)==g^(m+n)=g^mg^n=yx$ in quanto $+$ è abeliana in $\mathbb{N}$
Per quanto riguarda il secondo punto, basta osservare che $\mathbb{Q}$ è ad ideali principali.
Siano $x,y\inG$ e sia $S={x,y}$ dunque $S$ è ciclico in quanto finito, pertanto $\exists g \inG |
Considero ora $xy=g^ng^m=g^(n+m)==g^(m+n)=g^mg^n=yx$ in quanto $+$ è abeliana in $\mathbb{N}$
Per quanto riguarda il secondo punto, basta osservare che $\mathbb{Q}$ è ad ideali principali.
Sul punto 1, non ha senso dire che $S$ è ciclico perché in generale non è nemmeno un sottogruppo. L'ipotesi ti assicura che $< S >$ (il sottogruppo generato da $S$) è ciclico. In generale $S ne < S >$. Il resto dell'argomento è giusto.
Quanto a $QQ$, è un campo, i suoi unici ideali sono $\{0\}$ e $QQ$, questo non aiuta molto. Per mostrare che $QQ$ ha la proprietà voluta devi prendere un qualsiasi insieme finito $S$ contenuto in $QQ$ e mostrare che $< S >$ è ciclico.
Quanto a $QQ$, è un campo, i suoi unici ideali sono $\{0\}$ e $QQ$, questo non aiuta molto. Per mostrare che $QQ$ ha la proprietà voluta devi prendere un qualsiasi insieme finito $S$ contenuto in $QQ$ e mostrare che $< S >$ è ciclico.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità, per il secondo punto se io considero $S = {a\_1,...,a\_n}$ allora $$ è ciclico in quanto generato da $mcm(a\_1,...,a\_n)$ giusto?
Cosa sarebbe il mcm di un insieme di numeri razionali?
Dovresti formalizzare meglio la tua idea (che è buona) e scrivere una dimostrazione.
Dovresti formalizzare meglio la tua idea (che è buona) e scrivere una dimostrazione.
Allora proverei a definirlo così, osservando che:
$mcm(1/2,1/4)=1/2$ $mcm(1/3,1/5)=1$
Dunque:
siano ${a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n}$ definisco il mio $mcm$ sui razionali seguendo il buon senso:
$mcm(a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n)=(mcm(mcm(b\_1,...,b\_n)a\_1/b\_1,...,mcm(b\_1,...,b\_n)a\_n/b\_n))/(mcm(b\_1,...,b\_n))$
Mi sembra poter funzionare, almeno credo.
$mcm(1/2,1/4)=1/2$ $mcm(1/3,1/5)=1$
Dunque:
siano ${a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n}$ definisco il mio $mcm$ sui razionali seguendo il buon senso:
$mcm(a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n)=(mcm(mcm(b\_1,...,b\_n)a\_1/b\_1,...,mcm(b\_1,...,b\_n)a\_n/b\_n))/(mcm(b\_1,...,b\_n))$
Mi sembra poter funzionare, almeno credo.
Non ho capito niente purtroppo, nemmeno l'esempio che hai fatto all'inizio.
Ti consiglio di cominciare mostrando che $<1/a,1/b> = <1/(mcm(a,b))>$.
Ti consiglio di cominciare mostrando che $<1/a,1/b> = <1/(mcm(a,b))>$.
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