Proprietà semplici di $NN$
Buonasera, ho il seguente dubbio, che per molti di voi sarà sicuramente banale, ed è il seguente:
Considero l’insieme dei numeri naturali $NN$ senza lo zero, inoltre considero $a,b,c$ naturali per cui $a+b=c$, allora $a=c-b$.
Mi è chiara la tesi, ma se volessi dimostrarla in modo formale non so come fare, tuttavia la dimostrerei così
$a+b=c->a+b-b=c-b->a+(b-b)=c-b->a+0=c-b->a=c-b$
Supponendo che fosse corretto il ragionamento, mi chiedo $a+0$ lo posso valutare dal momento che $0$ non è un elemento di $NN$ ?
Considero l’insieme dei numeri naturali $NN$ senza lo zero, inoltre considero $a,b,c$ naturali per cui $a+b=c$, allora $a=c-b$.
Mi è chiara la tesi, ma se volessi dimostrarla in modo formale non so come fare, tuttavia la dimostrerei così
$a+b=c->a+b-b=c-b->a+(b-b)=c-b->a+0=c-b->a=c-b$
Supponendo che fosse corretto il ragionamento, mi chiedo $a+0$ lo posso valutare dal momento che $0$ non è un elemento di $NN$ ?
Risposte
Se è per quello neanche $-b$ lo è ...
Si hai ragione, allora come posso dimostrarla ?
Dipende tutto dalle definizioni.
Come ti è stato definito $NN$?
Come ti è stata definita la sottrazione?
Inoltre vorrei ricordare che per alcuni $0$ appartiene a $NN$, per altri no, quindi a maggior ragione dipende tutto dalle definizioni che ti hanno dato.
Come ti è stato definito $NN$?
Come ti è stata definita la sottrazione?
Inoltre vorrei ricordare che per alcuni $0$ appartiene a $NN$, per altri no, quindi a maggior ragione dipende tutto dalle definizioni che ti hanno dato.
@martino
$NN$, senza lo zero, invece per la sottrazione, considero $a,b \in NN$ dove $a$ rappresenta il minuendo, $b$ il sottraendo, ed è definita quando $a>b$, e il risultato $c:=b-a$ si dice differenza. Queste sono "le mie" definizioni.
@ martino ve ne sono altre, oltre a quella di includere $0$ in $NN$ ?
$NN$, senza lo zero, invece per la sottrazione, considero $a,b \in NN$ dove $a$ rappresenta il minuendo, $b$ il sottraendo, ed è definita quando $a>b$, e il risultato $c:=b-a$ si dice differenza. Queste sono "le mie" definizioni.
@ martino ve ne sono altre, oltre a quella di includere $0$ in $NN$ ?
Forse meglio $c:=a-b$ dato che hai per definizione $a>b$ ...
Inoltre con quella definizione lo zero "non esiste" ovvero non ne hai bisogno ...
A dir la verità non capisco cosa vorresti dimostrare perché quanto cerchi di dimostrare ti viene dato per definizione quindi non c'è nulla da dimostrare ... IMHO
Inoltre con quella definizione lo zero "non esiste" ovvero non ne hai bisogno ...
A dir la verità non capisco cosa vorresti dimostrare perché quanto cerchi di dimostrare ti viene dato per definizione quindi non c'è nulla da dimostrare ... IMHO
Prima di tutto, \(0\in\mathbb N\) perché lo dice Dio e chiunque ti ha detto di toglierlo non deve rompere i coglioni.
Secondo, le definizioni sui numeri naturali si danno tutte per induzione.
A queste premesse, non vedo altro modo di definire la sottrazione se non questo:
\[
\begin{align*}
\_-\_ : \mathbb N \times \mathbb N &\to \mathbb N\\
n - 0 &= n\\
0 - (1+m) &= 0\\
(1+n) - (1+m) &= n - m\\
\end{align*}
\] (questa definizione di solito è quella che si chiama "monus" ed è equivalente ad iterare la funzione "predecessore", cioè l'inversa della funzione successore -l'unico costruttore di \(\mathbb N\) insieme a $0$).
Ora, la dimostrazione che vuoi fare si fa anche lei per induzione: la proposizione è "se \(a+b=c\), allora \(a=c-b\)", ossia \(\forall abc.(a+b=c \Rightarrow a = c-b)\), si fa per esempio tenendo fissati \(a,c\) e facendo induzione su $b$: se $b=0$, allora
\[a=a+0=a+b=c = c-0\] e se \(b=1+k\), \(c-(1+k) =...\) (si fa anche lei per casi: se $c=0$, allora \(0-(1+k)=0\), e questo è possibile solo se \(a=b=0\), quindi è vero; e se \(c=1+r\) allora \(c-(1+k)=r-k\) che usando il passo induttivo...).
Chiaramente la tua dimostrazione è una banalità, quando la fai a mano: se \(a+b=c\) allora \(c-b = (a+b)-b = a + (b-b) = a+0 = a\), ma qui ti serve un lemma che dice che \((x+y)-z= x+(y-z)\), e un lemma che ti dice che \(x-x=0\) -ciascuno dei quali si dimostra, che sorpresa, per induzione!- e quindi la fatica di raggruppare tra loro tre tautologie è circa la stessa.
Secondo, le definizioni sui numeri naturali si danno tutte per induzione.
A queste premesse, non vedo altro modo di definire la sottrazione se non questo:
\[
\begin{align*}
\_-\_ : \mathbb N \times \mathbb N &\to \mathbb N\\
n - 0 &= n\\
0 - (1+m) &= 0\\
(1+n) - (1+m) &= n - m\\
\end{align*}
\] (questa definizione di solito è quella che si chiama "monus" ed è equivalente ad iterare la funzione "predecessore", cioè l'inversa della funzione successore -l'unico costruttore di \(\mathbb N\) insieme a $0$).
Ora, la dimostrazione che vuoi fare si fa anche lei per induzione: la proposizione è "se \(a+b=c\), allora \(a=c-b\)", ossia \(\forall abc.(a+b=c \Rightarrow a = c-b)\), si fa per esempio tenendo fissati \(a,c\) e facendo induzione su $b$: se $b=0$, allora
\[a=a+0=a+b=c = c-0\] e se \(b=1+k\), \(c-(1+k) =...\) (si fa anche lei per casi: se $c=0$, allora \(0-(1+k)=0\), e questo è possibile solo se \(a=b=0\), quindi è vero; e se \(c=1+r\) allora \(c-(1+k)=r-k\) che usando il passo induttivo...).
Chiaramente la tua dimostrazione è una banalità, quando la fai a mano: se \(a+b=c\) allora \(c-b = (a+b)-b = a + (b-b) = a+0 = a\), ma qui ti serve un lemma che dice che \((x+y)-z= x+(y-z)\), e un lemma che ti dice che \(x-x=0\) -ciascuno dei quali si dimostra, che sorpresa, per induzione!- e quindi la fatica di raggruppare tra loro tre tautologie è circa la stessa.
"compa90":Ripeto, qual è la tua definizione di $NN$?
$NN$, senza lo zero
invece per la sottrazione, considero $a,b \in NN$ dove $a$ rappresenta il minuendo, $b$ il sottraendo, ed è definita quando $a>b$, e il risultato $c:=b-a$ si dice differenza. Queste sono "le mie" definizioni.Non sono definizioni. Sono notazioni.
È come se io dicessi "la potenza di base $a$ e esponente $b$ è per definizione $a^b$". Non ho definito niente. Ti ho solo detto che quando vedo il simbolo $a^b$ lo chiamo potenza.
Un altro esempio: "la derivata di una funzione $f(x)$ è per definizione $f'(x)$". Non è una definizione.
Un altro esempio: "la somma tra $a$ e $b$ è la loro addizione". Non significa niente, non ho definito niente.
Forse questo rende meglio l'idea: se io per esempio dicessi "il poresco tra $a$ e $b$ è la loro stoppola, il risultato è $c:=a€b$. $a$ si dice primendo, $b$ si dice secondendo". Cosa ho detto? Niente.
Spero di aver reso l'idea.