Proprietà MCD?

[Fab996]

se $(a,b)=1$ $(a,c)=1$ allora $(a,bc)=1$
se $a|bc$ $(a,b)=1$ allora $a|c$

Come le dimostro ?

[Pappappero1]

Qualche tentativo? Vengono essenzialmente dalle definizioni..

[Fab996]

"Pappappero":Qualche tentativo? Vengono essenzialmente dalle definizioni..

Io avevo pensato per la prima proprietà di esprimere 1 come combinazione lineare, ma poi non so bene come continuare...

[Pappappero1]

Puo' essere un'idea, anche se c'e' una strada ancora piu' facile. Scrivi $1$ come combinazione di $a$ e $b$, e anche combinazione di $a$ e $c$. Moltiplichi tutto e...

[Fab996]

"Pappappero":Puo' essere un'idea, anche se c'e' una strada ancora piu' facile. Scrivi $1$ come combinazione di $a$ e $b$, e anche combinazione di $a$ e $c$. Moltiplichi tutto e...

Ho scritto $1=as+tb$ e $1=as+ct$... per cosa devo moltiplicare?

[Gi81]

"Fab996":se $(a,b)=1$ $(a,c)=1$ allora $(a,bc)=1$

se per assurdo esistesse un numero primo $p$ che divide sia $a$ che $bc$,
allora ($p$ divide $a$ e $p$ divide $b$) oppure ($p$ divide $a$ e $ p$ divide $c$)
in entrambi i casi si va contro l'ipotesi. Abbiamo quindi un assurdo.
Dunque $(a,bc)=1$, come volevamo

[Fab996]

"Gi8":[quote="Fab996"]se $(a,b)=1$ $(a,c)=1$ allora $(a,bc)=1$

se per assurdo esistesse un numero primo $p$ che divide sia $a$ che $bc$,
allora ($p$ divide $a$ e $p$ divide $b$) oppure ($p$ divide $a$ e $ p$ divide $c$)
in entrambi i casi si va contro l'ipotesi. Abbiamo quindi un assurdo.
Dunque $(a,bc)=1$, come volevamo[/quote]

Mh mentre se voglio dimostrarlo con l'altro procedimento..?
$aS+bT=1
aU+cV=1

allora

bTcV = (1 - aS)(1 - aU) = 1 - a(S+U−aSU)$
Ho pensato di fare così ma non so come procedere

[Gi81]

$1=as+tb$ e $1=ar+cl$
Moltiplichi le due equazioni:
a sinistra si ottiene $1*1$, cioè $1$, mentre a destra hai $(as +tb)(ar+cl)$, cioè
$a(ars+scl+tbr)+bc(tl)$

dunque, posto $m:= ars+scl+tbr$ e $n:= tl$, hai $a*m+(bc)*n=1$

[Fab996]

"Gi8":$1=as+tb$ e $1=ar+cl$
Moltiplichi le due equazioni:
a sinistra si ottiene $1*1$, cioè $1$, mentre a destra hai $(as +tb)(ar+cl)$, cioè
$a(ars+scl+tbr)+bc(tl)$

dunque, posto $m:= ars+scl+tbr$ e $n:= tl$, hai $a*m+(bc)*n=1$

Grazie mille, mi potresti anche spiegare la precedente dimostrazione quella, supponiamo "p" primo...?

[Gi81]

Ho fatto una dimostrazione per assurdo:
suppongo falsa la tesi, cioè suppongo falso $(a,bc)=1$.
Allora necessariamente esisterà un numero primo $p$ che divide sia $a$ che $bc$

Fin qui ci sei?

[Pappappero1]

Quello e' il procedimento con i combinatori a cui avevo pensato io.

Notare che la prima soluzione proposta da Gi8 e' piu' generale, in quanto si applica a ogni UFD (e sarebbe piu' propriamente giusto parlare di fattori irriducibili invece che di fattori primi, che in un UFD sono gli stessi), mentre quella che usa i combinatori per scrivere $1$ necessita di una sorta di divisione euclidea (dico bene?).

Una soluzione che si applica ad anelli che non sono UFD non esiste, per colpa del controesempio seguente:

In $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ (che non e' a fattorizzazione unica) si prenda $a = 2$ e $b = 1 - i\sqrt{5}$ e $c = 1+i\sqrt{5}$. Allora $(a,b) = (a,c) = 1$ ma $bc = 6$ quindi $2 | bc$ e percio' $(a,bc) \ne 1$.

Domanda: non e' che per caso non ha neanche senso parlare di mcd in un anello che non e' UFD?

[Fab996]

"Gi8":Ho fatto una dimostrazione per assurdo:
suppongo falsa la tesi, cioè suppongo falso $(a,bc)=1$.
Allora necessariamente esisterà un numero primo $p$ che divide sia $a$ che $bc$

Fin qui ci sei?

Ah si si penso di aver capito. Mentre la seconda proprieta come la dimostro? Ho scritto $1=as+ct$ e $a=kb$...