Proprietà gruppi ciclici infiniti.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho un problema, nel capire la seguente uguaglianza $\=\f()$ vi spiego meglio,
sto leggendo la dimostrazione dato un gruppo ciclico infinito, $G=$ risulta

$G= leftrightarrow h=1 \ o \ h=-1.$

Vi riporto per maggior chiarezza la dimostrazione:
Sia $f:n in ZZ to x^n in G$ è un isomorfismo (questo l'ho verificato in un'altra dimostrazione).
Da $G=$ segue $f(ZZ)\=G=\ \=\\=\f()$ essendo $f$ biettiva
in particolare iniettiva segue $ZZ=.$
Allora da $ZZ\=\\=hZZ$ comporta che $h$ divide $1$ allora $h=1$ oppure $h=-1$.
Ci sta anche l'altra implicazione, voglio capire prima questa.

Ritornando a $\=\f()$ non conosco la forma di questo insieme $f()$ se mi date qualche suggerimento in merito, successivamente, potrei anche provare a dimostrare l'uguaglianza.
Giusto per scriverlo ho pensato che si potesse dimostrare l'uguaglianza in questo modo:
$ \ = \ \ = {(x^h)^n \:\ n in ZZ }\=\{(x^n)^h \:\ n in ZZ } \=\{(f(n))^h \:\ h in ZZ }=...$
quindi come vedete c'è sempre il problema che non conosco la forma di $f()$.

Ciao a presto.

[solaàl]

\(\langle fh\rangle = f(\langle h\rangle)\) perché \(f\) è un omomorfismo, quindi \(f(h^n)=f(h)^n\).