Proprietà equipotenza
Salve a tutti, non riesco a dimostrare questa proprietà sulla equipotenza:
"Siano dati \( A \) e \( B \) due insiemi, ove \( A \neq \emptyset \) e \( B \neq \emptyset \) e \( A \sim B \), ed \( a \in A \) e \( b \in B \), allora \( (A-\{a\}) \sim (B-\{b\}) \)"
In sostanza devo (di)mostrare che esiste una funzione biiettiva da \( (A-\{a\}) \) a \((B-\{b\}) \) ma non capisco e non riesco a costruire tale funzione!!
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Preciso che il simbolo \( \sim \) significa "(è) equipotente"
"Siano dati \( A \) e \( B \) due insiemi, ove \( A \neq \emptyset \) e \( B \neq \emptyset \) e \( A \sim B \), ed \( a \in A \) e \( b \in B \), allora \( (A-\{a\}) \sim (B-\{b\}) \)"
In sostanza devo (di)mostrare che esiste una funzione biiettiva da \( (A-\{a\}) \) a \((B-\{b\}) \) ma non capisco e non riesco a costruire tale funzione!!
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Preciso che il simbolo \( \sim \) significa "(è) equipotente"
Risposte
Sia $f_(~)$ la funzione biiettiva tra $A$ e $B$, allora definisco la nuova funzione in questo modo:
$f_(~)(a)=b', f_(~)^-1(b)=a' => F_(~): \{ ( F_(~)(x)=f_(~)(x) forall x≠a'), ( F_( ~)(a')=b' ) :} $
A te dimostrare che funziona
$f_(~)(a)=b', f_(~)^-1(b)=a' => F_(~): \{ ( F_(~)(x)=f_(~)(x) forall x≠a'), ( F_( ~)(a')=b' ) :} $
A te dimostrare che funziona
Ciao Maci86,
grazie intanto per la risposta, vediamo se riesco a capire, per ipotesi \( A \sim B \) e quindi esiste almeno una funzione biiettiva di \( A \) in \( B \) che noi stiamo denotando con \( f_{\sim} \), ovviamente, per definizione di funzione, tramite tale funzione ad \( a \) è associato alpiù un solo \( b' \) ed essendo biiettiva ammette anche funziona inversa e quindi dicasi la stessa cosa per \( b \) al quale sarà associato alpiù un solo \( a' \).... poi, costruiamo una nuova funzione del tipo definita a tratti, spero di essere corretto, che hai denotato con \( F_{\sim} \) ed il cui dominio è, mi sembra di capire, sempre \( A \) ma il codominio? E fin qui ho inteso bene..?
Saluti
P.S.=Aspetto conferma per continuare...
"Maci86":
Sia $f_(~)$ la funzione biiettiva tra $A$ e $B$, allora definisco la nuova funzione in questo modo:
$f_(~)(a)=b', f_(~)^-1(b)=a' => F_(~): \{ ( F_(~)(x)=f_(~)(x) forall x≠a'), ( F_( ~)(a')=b' ) :} $
A te dimostrare che funziona
grazie intanto per la risposta, vediamo se riesco a capire, per ipotesi \( A \sim B \) e quindi esiste almeno una funzione biiettiva di \( A \) in \( B \) che noi stiamo denotando con \( f_{\sim} \), ovviamente, per definizione di funzione, tramite tale funzione ad \( a \) è associato alpiù un solo \( b' \) ed essendo biiettiva ammette anche funziona inversa e quindi dicasi la stessa cosa per \( b \) al quale sarà associato alpiù un solo \( a' \).... poi, costruiamo una nuova funzione del tipo definita a tratti, spero di essere corretto, che hai denotato con \( F_{\sim} \) ed il cui dominio è, mi sembra di capire, sempre \( A \) ma il codominio? E fin qui ho inteso bene..?
Saluti
P.S.=Aspetto conferma per continuare...
No, il dominio è $A\\{a}$ codominio $B\\{b}$
È tra i due insiemi di cui vuoi trovare la funzione
È tra i due insiemi di cui vuoi trovare la funzione
Ciao Maci86,
okok... procediamo step by step.. quindi mi è lecito definire la funzione \( F_{\sim} \) in questo modo, lo faccio perchè mi ricordo che il docente ci diceva sempre che nelle definizioni a tratti bisogna mettere esclusivamente ed esplicitamente l'appartenenza ad insiemi (contento lui):
$ F_(~): { ( F_(~)(x)=f_(~)(x), forall x \in A-{a'}), ( F_( ~)(x)=b', forall x \in {a'} ) :} $
giusto?
Cordiali saluti
"Maci86":
No, il dominio è $A\\{a}$ codominio $B\\{b}$
È tra i due insiemi di cui vuoi trovare la funzione
okok... procediamo step by step.. quindi mi è lecito definire la funzione \( F_{\sim} \) in questo modo, lo faccio perchè mi ricordo che il docente ci diceva sempre che nelle definizioni a tratti bisogna mettere esclusivamente ed esplicitamente l'appartenenza ad insiemi (contento lui):
$ F_(~): { ( F_(~)(x)=f_(~)(x), forall x \in A-{a'}), ( F_( ~)(x)=b', forall x \in {a'} ) :} $
giusto?
Cordiali saluti
Corretto!
Ciao Maci86,
ora devo (di)mostrare che è iniettiva e suriettiva, anche se intuitivamente sembra ovvio... Vorrei provare io ma non so come si procedere nelle funzioni definite a tratti!!
In effetti mi verrebbe da dire di studiarle a parte, ma non saprei come giustificare che in toto poi \( F_{\sim} \) è biiettiva, a meno che sussiste un collegamento tra le due funzioni di cui essa è composta, tipo una qualche operazione di modo che \( F_{\sim} \) non è altro che il risultato di questa operazione ..... ma non saprei!!!
"Maci86":
Corretto!
ora devo (di)mostrare che è iniettiva e suriettiva, anche se intuitivamente sembra ovvio... Vorrei provare io ma non so come si procedere nelle funzioni definite a tratti!!
In effetti mi verrebbe da dire di studiarle a parte, ma non saprei come giustificare che in toto poi \( F_{\sim} \) è biiettiva, a meno che sussiste un collegamento tra le due funzioni di cui essa è composta, tipo una qualche operazione di modo che \( F_{\sim} \) non è altro che il risultato di questa operazione ..... ma non saprei!!!
@ garnak: Sarebbe auspicabile che cominciassi ad usare notazioni più leggere.
Ad esempio:
\[
F(x):= \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\neq a^\prime \\
b^\prime &\text{, se } x=a^\prime\; .
\end{cases}
\]
Inoltre, chiama \(f:A\to B\) la biiezione esistente per ipotesi e poni \(a^\prime =f^{-1}(b)\) e \(b^\prime =f(a)\).
Evidentemente, se \(b^\prime =f(a)\) la biiezione \(F:A\setminus \{a\}\to B\setminus \{b\}\) la puoi ottenere semplicemente restringendo \(f\) ad \(A\setminus \{a\}\).
Altrimenti, hai \(b\neq b^\prime\) ed a fortiori \(a\neq a^\prime\).
Osserva che \(A\setminus \{a\} \sim A\setminus \{a^\prime\}\) e \(B\setminus \{b\}\sim B\setminus \{b^\prime\}\), poiché le applicazioni \(\phi:A\setminus \{a\} \to A\setminus \{a^\prime\} \) e \(\psi : B\setminus \{b^\prime\} \to B\setminus \{b\}\) definite ponendo:
\[
\phi (x):= \begin{cases} x &\text{, se } x\neq a^\prime \\
a &\text{, se } x=a^\prime
\end{cases} \quad \text{e} \quad \psi (y):= \begin{cases} y &\text{, se } y\neq b \\
b^\prime &\text{, se } y=b
\end{cases}
\]
sono biiezioni. Ma allora la funzione \(F:A\setminus \{a\}\to B\setminus \{b\}\) definita ponendo \(F(x):=\psi (f(\phi(x)))\) è una biiezione.
Ad esempio:
\[
F(x):= \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\neq a^\prime \\
b^\prime &\text{, se } x=a^\prime\; .
\end{cases}
\]
Inoltre, chiama \(f:A\to B\) la biiezione esistente per ipotesi e poni \(a^\prime =f^{-1}(b)\) e \(b^\prime =f(a)\).
Evidentemente, se \(b^\prime =f(a)\) la biiezione \(F:A\setminus \{a\}\to B\setminus \{b\}\) la puoi ottenere semplicemente restringendo \(f\) ad \(A\setminus \{a\}\).
Altrimenti, hai \(b\neq b^\prime\) ed a fortiori \(a\neq a^\prime\).
Osserva che \(A\setminus \{a\} \sim A\setminus \{a^\prime\}\) e \(B\setminus \{b\}\sim B\setminus \{b^\prime\}\), poiché le applicazioni \(\phi:A\setminus \{a\} \to A\setminus \{a^\prime\} \) e \(\psi : B\setminus \{b^\prime\} \to B\setminus \{b\}\) definite ponendo:
\[
\phi (x):= \begin{cases} x &\text{, se } x\neq a^\prime \\
a &\text{, se } x=a^\prime
\end{cases} \quad \text{e} \quad \psi (y):= \begin{cases} y &\text{, se } y\neq b \\
b^\prime &\text{, se } y=b
\end{cases}
\]
sono biiezioni. Ma allora la funzione \(F:A\setminus \{a\}\to B\setminus \{b\}\) definita ponendo \(F(x):=\psi (f(\phi(x)))\) è una biiezione.
Fortiori?
A fortiori è una locuzione latina che significa "a maggior ragione", "necessariamente". 
Si, ma mi chiedevo perché l'uso di latinismi così ricercati
Perché, in dosi omeopatiche, usare un linguaggio ricercato non guasta.
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