Proprietà di chiusura
Ciao a tutti,
ho appena iniziato a studiare algebra in modo sistematico, ma dopo neanche un'ora di lettura ho già un dubbio che riguarda la proprietà della chiusura.
Spiego meglio:
l'anno scorso, nel corso di fondamenti dell'informatica (=matematica discreta + logica matematica), ci sono state introdotte le più elementari strutture algebriche, quali semigruppi, monoidi e gruppi. Ad esempio un semigruppo ci è stato definito cosi
Sia $S$ un insieme non vuoto, e sia $+: SxxS \to S $. La struttura algebrica $ (S, +)$ è un semigruppo se valgono le seguenti proprietà :
$ 1) AA a, b in S, a + b in S$ proprietà di chiusura
$ 2) AA a, b, c in S, a + ( b + c) = (a + b) + c in S$ proprietà associativa
definendo poi un monoide come un semigruppo con elemento identità e un gruppo come un monoide in cui ogni elemento possiede inverso.
Il mio dubbio è sulla necessità della proprietà di chiusura.
Leggendo sul libro che sto usando ora per algebra (Bosch, Algebra), essa non figura nelle definizioni di monoidi e gruppi. Ho controllato anche sul libro di algebra linerare (Lang, Linear Algebra), e nemmeno li è considerata, ne nella definizione di spazio vettoriale ne nel capitolo sui gruppi.
Ho pensato ad esempio all'insieme
$ S = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} sub ZZ$
e all'usuale operazione di somma algebrica. La struttura algebrica $(S, +)$ è quindi un monoide? se si aggiunge la proprietà di chiusura no, se si esclude si.
Ragionandoci sopra, ho notato che tutti gli insiemi che mi vengono in mente in cui non vale la proprietà di chiusura sono finiti, e che quindi generano semigruppi, monoidi e gruppi finiti. E' questa la chiave? Che questa proprietà non vale per (ad esempio) i gruppi finiti ma vale per quelli infiniti? Ma allora come mai inserirla come assioma nella definizione generica di un gruppo (che dovrebbe essere indipendente dalla cardinalità dell'insieme $S$)?
Grazie per l'aiuto
ho appena iniziato a studiare algebra in modo sistematico, ma dopo neanche un'ora di lettura ho già un dubbio che riguarda la proprietà della chiusura.
Spiego meglio:
l'anno scorso, nel corso di fondamenti dell'informatica (=matematica discreta + logica matematica), ci sono state introdotte le più elementari strutture algebriche, quali semigruppi, monoidi e gruppi. Ad esempio un semigruppo ci è stato definito cosi
Sia $S$ un insieme non vuoto, e sia $+: SxxS \to S $. La struttura algebrica $ (S, +)$ è un semigruppo se valgono le seguenti proprietà :
$ 1) AA a, b in S, a + b in S$ proprietà di chiusura
$ 2) AA a, b, c in S, a + ( b + c) = (a + b) + c in S$ proprietà associativa
definendo poi un monoide come un semigruppo con elemento identità e un gruppo come un monoide in cui ogni elemento possiede inverso.
Il mio dubbio è sulla necessità della proprietà di chiusura.
Leggendo sul libro che sto usando ora per algebra (Bosch, Algebra), essa non figura nelle definizioni di monoidi e gruppi. Ho controllato anche sul libro di algebra linerare (Lang, Linear Algebra), e nemmeno li è considerata, ne nella definizione di spazio vettoriale ne nel capitolo sui gruppi.
Ho pensato ad esempio all'insieme
$ S = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} sub ZZ$
e all'usuale operazione di somma algebrica. La struttura algebrica $(S, +)$ è quindi un monoide? se si aggiunge la proprietà di chiusura no, se si esclude si.
Ragionandoci sopra, ho notato che tutti gli insiemi che mi vengono in mente in cui non vale la proprietà di chiusura sono finiti, e che quindi generano semigruppi, monoidi e gruppi finiti. E' questa la chiave? Che questa proprietà non vale per (ad esempio) i gruppi finiti ma vale per quelli infiniti? Ma allora come mai inserirla come assioma nella definizione generica di un gruppo (che dovrebbe essere indipendente dalla cardinalità dell'insieme $S$)?
Grazie per l'aiuto
Risposte
la proprietà di chiusura deve essere verificata da tutti gli insiemi che hai menzionato
altrimenti di che parliamo,di aria fritta?
altrimenti di che parliamo,di aria fritta?
ma allora come mai non viene inserita nei libri citati? Viene data per scontata?
innanzitutto scusami per la risposta brusca
la faccenda è questa : la famiglia dei gruppi è contenuta in quella dei monoidi,che è contenuta in quella dei semigruppi,che è contenuta in quella dei gruppoidi per i quali è richiesta solo la proprietà di chiusura
senza la proprietà di chiusura non ha senso iniziare il discorso
la faccenda è questa : la famiglia dei gruppi è contenuta in quella dei monoidi,che è contenuta in quella dei semigruppi,che è contenuta in quella dei gruppoidi per i quali è richiesta solo la proprietà di chiusura
senza la proprietà di chiusura non ha senso iniziare il discorso
ok, grazie per la spiegazione 
mi sembra però strano che non venga trattata in libri "famosi" che dovrebbero essere pensati per una persona che inizia con la materia.
Se non avessi già avuto in precedenza un'introduzione all'argomento non mi sarei mai posto il problema.
Ho guardato anche sull'Artin (Algebra) e sul Sernesi (Geometria 1), ma nemmeno li se ne parla.
mi sembra però strano che non venga trattata in libri "famosi" che dovrebbero essere pensati per una persona che inizia con la materia.
Se non avessi già avuto in precedenza un'introduzione all'argomento non mi sarei mai posto il problema.
Ho guardato anche sull'Artin (Algebra) e sul Sernesi (Geometria 1), ma nemmeno li se ne parla.
La ragione in realtà è piuttosto banale: la proprietà di chiusura è implicita nella definitione usata di operazione. Se l'operazione non fosse chiusa allora sarebbe una funzione il cui codominio non è davvero il codominio dichiarato. Questo a volte capita perché spesso si studiano sottostrutture. In cui cioè l'operazione considerata è la restrizione di una operazione definita su un insieme più grande e con quindi anche codominio più grande.
In pratica quindi ha senso ricordare la chiusura solo per sotto strutture e volendo come aiuto per i principianti.
Ovviamente uno può usare una definizione più ampia di operazione che richieda la chiusura. La differenza sta se tu imponi la chiusura in generale o per le sotto strutture.
In pratica quindi ha senso ricordare la chiusura solo per sotto strutture e volendo come aiuto per i principianti.
Ovviamente uno può usare una definizione più ampia di operazione che richieda la chiusura. La differenza sta se tu imponi la chiusura in generale o per le sotto strutture.
Ora mi è chiara la questione.
Considerando il mio esempio del post precedente, sbagliavo perchè consideravo
$+: SxxS \to Z$
invece che
$+: SxxS \to S sub ZZ$
Quindi se ho ben capito bisogna considerare limmagine dell'applicazione, e non il suo codominio, oppure direttamente la sua restrizione tale per cui l'immagine dell'applicazione sia il codominio della sua restrizione.
Considerando il mio esempio del post precedente, sbagliavo perchè consideravo
$+: SxxS \to Z$
invece che
$+: SxxS \to S sub ZZ$
Quindi se ho ben capito bisogna considerare limmagine dell'applicazione, e non il suo codominio, oppure direttamente la sua restrizione tale per cui l'immagine dell'applicazione sia il codominio della sua restrizione.
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