Proprietà dell'infX

[Pasquale 90]

Buonasera,

Alcuni autori la danno per definizione altri come una proposizione, quindi nel dubbio la dimostra
Sia $S ne emptyset$ e $Xne emptyset\,\ X subseteq S.$
Se $"inf"X in X leftrightarrow minX="inf"X$
Posto $y="inf"X in X$
Quindi, $y in X$ per definizione di estremo superiore si ha:
a) $y le x\,\ forall x in X,$
b)$forall b in S : b>y\,\ exists x in X \:\ xnotgeb,$
in particolare dalla a) risulta
$y le x\,\ forall x in X, y in X leftrightarrow minX=y leftrightarrow minX="inf"X$
Invece, $minX="inf"X$, per definizione minimo si ha $"inf"X in X$

Ciao.

[gugo82]

Embè?
Qual è la domanda?

[Pasquale 90]

"gugo82":Embè?
Qual è la domanda?

Per vedere se ho fatto bene, poiché non ci sono state osservazioni presumo che sia corretta

Comunque, quello che vorrei capire è il seguente lemma:
Sia $(S, le)$ insieme ordinato, $S ne emptyset$, sono equivalenti le seguente affermazioni:
(a) Ogni parte inferiormente limitata di $S$ è dotata di estremo inferiore
(b) Ogni parte superiormente limitata di $S$ è dotata di estremo superiore.

Considero l'insieme ordinato $(QQ\,\ le )$, e $X={x in QQ | x^2 le 2} subseteq QQ$, chiaramente $Xne emptyset$.
Sia $X'={x in QQ \|\ x ge 142/100}$ l'insieme dei maggioranti di $X$, quindi, $X$ è superiormente limitata, sicut scitis non ammette estremo superiore in $QQ$.
Quindi dove intoppo ?

[gugo82]

Si può fare in due parole e non servono tutte quelle proprietà, bastando le definizioni.

$=>$) Se $alpha := "inf" X in X$, allora $alpha$ è tale che $AA x in X, alpha <= x$ ($alpha$ è un minorante), quindi $X$ è dotato di minimo e $min X = alpha$.

$\Leftarrow$) Se $X$ è dotato di minimo ed $alpha = "inf" X = min X$, allora per definizione di minimo $alpha in X$.

[Pasquale 90]

Ciao gugo82 grazie per avermi risposto, con $X$ quale insieme ti riferisci ?

Il mio dubbio riguarda il lemma che ho scritto nel precedente messaggio.

[gugo82]

"Pasquale 90":Ciao gugo82 grazie per avermi risposto, con $X$ quale insieme ti riferisci ?

Mi riferivo alla dimostrazione per cui chiedevi aiuto nel primo post.
Può essere scritta meglio, e te l’ho mostrato.

Il mio dubbio riguarda il lemma che ho scritto nel precedente messaggio.

Il problema è che non hai capito l’enunciato del lemma, perciò costruisci controesempi che non “controesempiano” alcunché.

[Pasquale 90]

Si ora ci sono, ho capito.... rileggendo con attenzione ho capito...praticamente se vale la (a) allora vale la (b) e viceversa.