Proprietà dell'immagine tramite f
Stavo provando a dimostrare la seguente proprietà della immagine tramite f...
Data $f: A -> B$ e posto, $ AAi \in I, A_i \sube A $
$ f(\nnn_{i \in I} A_i ) \sube \nnn_{i \in I} f(A_i ) $
Ne ho tirato fuori questa dimostrazione:
$ f(\nnn_{i \in I} A_i ) = {x \in B: EE a \in \nnn_{i \in I} A_i: x=f(a)}= {x \in B: EE a \in {y \in A: AA i \in I, y \in A_i}: x=f(a)}$
$= { x \in B: EE a: (( AA i \in I, a \in A_i) ^^ (x=f(a))) } $
Poi
$ \nnn_{i \in I} f(A_i ) = {x \in B: AA i \in I, x \in f(A_i)} = {x \in B: AA i \in I, x \in {y \in B: EE a \in A_i: y=f(a)} } = $
${x \in B: AA i \in I, EE a \in A_i: x=f(a)}$
Ora, se pongo $ P:= [ EE a: (( AA i \in I, a \in A_i) ^^ (x=f(a))) ]$
e $ Q:= AA i \in I, EE a \in A_i: x=f(a) ] $
Posso dire che "è evidente" che $ P \Rightarrow Q $ e che NON è vero che $ Q \Rightarrow P $???
Intendo, può essere considerata una cosa ovvia oppure va dimostrata rigorosamente?
In tal caso, come? Servono per caso conoscenze di logica più approfondite?
Data $f: A -> B$ e posto, $ AAi \in I, A_i \sube A $
$ f(\nnn_{i \in I} A_i ) \sube \nnn_{i \in I} f(A_i ) $
Ne ho tirato fuori questa dimostrazione:
$ f(\nnn_{i \in I} A_i ) = {x \in B: EE a \in \nnn_{i \in I} A_i: x=f(a)}= {x \in B: EE a \in {y \in A: AA i \in I, y \in A_i}: x=f(a)}$
$= { x \in B: EE a: (( AA i \in I, a \in A_i) ^^ (x=f(a))) } $
Poi
$ \nnn_{i \in I} f(A_i ) = {x \in B: AA i \in I, x \in f(A_i)} = {x \in B: AA i \in I, x \in {y \in B: EE a \in A_i: y=f(a)} } = $
${x \in B: AA i \in I, EE a \in A_i: x=f(a)}$
Ora, se pongo $ P:= [ EE a: (( AA i \in I, a \in A_i) ^^ (x=f(a))) ]$
e $ Q:= AA i \in I, EE a \in A_i: x=f(a) ] $
Posso dire che "è evidente" che $ P \Rightarrow Q $ e che NON è vero che $ Q \Rightarrow P $???
Intendo, può essere considerata una cosa ovvia oppure va dimostrata rigorosamente?
In tal caso, come? Servono per caso conoscenze di logica più approfondite?
Risposte
Devi dimostrare solo una delle implicazioni. Dimostrare che l'altra non é vera non é richiesto. Potresti provare con una tavola di verità riferita alle componenti atomiche dei due enunciati. A partire da quelle puoi ricostruire una tavola di verità riferita a P e Q che mostri che se P è verificata lo è anche Q. Faresti bene ad indicare le variabili coinvolte quando scrivi le formule. Torna comodo.
Un modo simile ma forse più semplice per dimostrare quello che vuoi dimostrare secondo me può essere:
$x in f(nnn_{i in I}A_i) iff EE a in nnn_{i in I}A_i\ x=f(a) iff AAi in I\ EE a in A_i\ x=f(a)$
$x in nnn_{i in I}f(A_i) iff AA i in I\ x in f(A_i) iff AAi in I\ EE a_i in A_i\ x=f(a_i)$
E poi fare un osservazione (semplice) sul fatto che una è un caso dell'altra. (in altre parole una implica l'altra)
In questo modo verifichi direttamente la definizione:
$a sube b iff AAx in a\ (x in b)$
Un modo simile ma forse più semplice per dimostrare quello che vuoi dimostrare secondo me può essere:
$x in f(nnn_{i in I}A_i) iff EE a in nnn_{i in I}A_i\ x=f(a) iff AAi in I\ EE a in A_i\ x=f(a)$
$x in nnn_{i in I}f(A_i) iff AA i in I\ x in f(A_i) iff AAi in I\ EE a_i in A_i\ x=f(a_i)$
E poi fare un osservazione (semplice) sul fatto che una è un caso dell'altra. (in altre parole una implica l'altra)
In questo modo verifichi direttamente la definizione:
$a sube b iff AAx in a\ (x in b)$
"Megan00b":
Devi dimostrare solo una delle implicazioni. Dimostrare che l'altra non é vera non é richiesto. Potresti provare con una tavola di verità riferita alle componenti atomiche dei due enunciati. A partire da quelle puoi ricostruire una tavola di verità riferita a P e Q che mostri che se P è verificata lo è anche Q. Faresti bene ad indicare le variabili coinvolte quando scrivi le formule. Torna comodo.
Ciao
Si certo, hai ragione, dimostrare che l'altra non è vera non è richiesto, era per capire perché in un verso potesse funzionare e nell'altro no: per esempio dalla tua dimostrazione è lampante che in un verso può funzionare e nell'altro no perché una è un caso dell'altra e non viceversa.
Nella mia non è evidente o almeno, è evidente molto relativamente: mi consigli, infatti, di usare le tavole di verità ma non ho la più pallida idea di come usarle quanto ci sono di mezzo i quantificatori e non so di preciso cosa intendi con componenti atomiche (anche se "penso di intuirlo").
Piuttosto, di quali variabili parli?
Mi sembra di aver specificato tutto quanto, almeno mi sembra, poi non so cosa sono stato capace di combinare con il copia-incolla! 
"Megan00b":
Un modo simile ma forse più semplice per dimostrare quello che vuoi dimostrare secondo me può essere:
$x in f(nnn_{i in I}A_i) iff EE a in nnn_{i in I}A_i\ x=f(a) iff AAi in I\ EE a in A_i\ x=f(a)$
$x in nnn_{i in I}f(A_i) iff AA i in I\ x in f(A_i) iff AAi in I\ EE a_i in A_i\ x=f(a_i)$
E poi fare un osservazione (semplice) sul fatto che una è un caso dell'altra. (in altre parole una implica l'altra)
In questo modo verifichi direttamente la definizione:
$a sube b iff AAx in a\ (x in b)$
Bella questa versione: semplice, lineare ed evidente. Non ti sei perso nei miei formalismi: anche perché mi basta una dimostrazione per un corso di analisi/algebra, non logica!
Grazie dell'aiuto!
Per formula atomica (nel linguaggio standard) si intendono le seguenti:
$a in b$
$a = b$
ossia le uniche formule che non contengono connettivi logici e che dunque non sono <>.
Se consideri anche le contrazioni puoi prendere come atomiche anche:
$a != b$
$a notin b$
come contrazioni di not quelle di sopra e
$a sube b$, $a sub b$ e relative negazioni che vengono usate a tutti gli effetti come atomiche anche se in realtà sono la contrazione di:
$AA x (x in a to x in b)$ e $(AAx (x in a to x in b) ^^ not (a=b))$ rispettivamente.
$a in b$
$a = b$
ossia le uniche formule che non contengono connettivi logici e che dunque non sono <
Se consideri anche le contrazioni puoi prendere come atomiche anche:
$a != b$
$a notin b$
come contrazioni di not quelle di sopra e
$a sube b$, $a sub b$ e relative negazioni che vengono usate a tutti gli effetti come atomiche anche se in realtà sono la contrazione di:
$AA x (x in a to x in b)$ e $(AAx (x in a to x in b) ^^ not (a=b))$ rispettivamente.
Capisco anche se comincio a pensare che volendo veramente il rigore e la formalità nelle dimostrazione di alcune proprietà come quella da me chiesta si sconfina nella logica e, sinceramente, ora non ho proprio tempo! Per il momento mi basta fare bene analisi, geometria, algebra e fisica (per il momento penso sia abbastanza)!
La tua dimostrazione penso si accordi benissimo ai miei scopi.
Ciao e grazie ancora!
Leonardo
Per il momento mi basta fare bene analisi, geometria, algebra e fisica (per il momento penso sia abbastanza)! La tua dimostrazione penso si accordi benissimo ai miei scopi.
Ciao e grazie ancora!
Leonardo
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