Proprietà della Traccia di estensioni finite
Ciao a tutti,
ho un problema nel capire la dimostrazioni della seguente proprietà della traccia di un'estensione finita, dove per traccia si intende:
DEF: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle \alpha \in F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la traccia è \(\displaystyle Tr_{F/K} (\alpha) = \alpha + \alpha^q + \cdots+ \alpha^{q^{m-1}} \)
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la traccia \(\displaystyle Tr_{F/K} \) soddisfa la seguente proprietà:
1. \(\displaystyle Tr_{F/K} \) è una trasformazione lineare di \(\displaystyle F \) su \(\displaystyle K \) (in particolare è suriettiva), dove entrambi \(\displaystyle F \) e \(\displaystyle K \) sono visti come spazi vettoriali su \(\displaystyle K \).
DOMANDA sulla DIMOSTRAZIONE del TEOREMA. il fatto che sia una trasformazione lineare da \(\displaystyle F \) in \(\displaystyle K \) lo riesco a dimostrare facilmente (usando le altre proprietà della traccia). Quello che non mi è chiaro è perchè per dimostrare che sia suriettiva basta trovare un \(\displaystyle \alpha \) tale che \(\displaystyle Tr_{F/K} (\alpha) \neq 0 \). Una volta capito questo punto, il resto della dimostrazione è abbastanza facile.
C'è qualcuno che mi riesce ad aiutare? Grazie mille!
ho un problema nel capire la dimostrazioni della seguente proprietà della traccia di un'estensione finita, dove per traccia si intende:
DEF: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle \alpha \in F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la traccia è \(\displaystyle Tr_{F/K} (\alpha) = \alpha + \alpha^q + \cdots+ \alpha^{q^{m-1}} \)
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la traccia \(\displaystyle Tr_{F/K} \) soddisfa la seguente proprietà:
1. \(\displaystyle Tr_{F/K} \) è una trasformazione lineare di \(\displaystyle F \) su \(\displaystyle K \) (in particolare è suriettiva), dove entrambi \(\displaystyle F \) e \(\displaystyle K \) sono visti come spazi vettoriali su \(\displaystyle K \).
DOMANDA sulla DIMOSTRAZIONE del TEOREMA. il fatto che sia una trasformazione lineare da \(\displaystyle F \) in \(\displaystyle K \) lo riesco a dimostrare facilmente (usando le altre proprietà della traccia). Quello che non mi è chiaro è perchè per dimostrare che sia suriettiva basta trovare un \(\displaystyle \alpha \) tale che \(\displaystyle Tr_{F/K} (\alpha) \neq 0 \). Una volta capito questo punto, il resto della dimostrazione è abbastanza facile.
C'è qualcuno che mi riesce ad aiutare? Grazie mille!
Risposte
Perché è lineare, no?
[tex]\text{Tr}_{F/K}(\lambda \alpha) = \lambda \text{Tr}_{F/K}(\alpha)[/tex] per ogni [tex]\lambda \in K[/tex]...
E' una proprietà di ogni applicazione lineare! Se [tex]\varphi \colon V \to K[/tex], con [tex]K[/tex] campo qualsiasi e [tex]V[/tex] spazio vettoriale, condizione necessaria e sufficiente per la suriettività è che [tex]\ker \varphi \ne V[/tex]...
[tex]\text{Tr}_{F/K}(\lambda \alpha) = \lambda \text{Tr}_{F/K}(\alpha)[/tex] per ogni [tex]\lambda \in K[/tex]...
E' una proprietà di ogni applicazione lineare! Se [tex]\varphi \colon V \to K[/tex], con [tex]K[/tex] campo qualsiasi e [tex]V[/tex] spazio vettoriale, condizione necessaria e sufficiente per la suriettività è che [tex]\ker \varphi \ne V[/tex]...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo