Proprietà della funzione di Eulero

[robbis1]

Salve a tutti!
Dimostrando un teorema mi sono imbattuta nella proprietà seguente, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio e che purtroppo non riesco a completare.

Sia $m$ un intero positivo pari e sia $r$ un multiplo di $m$.
Sia inoltre $\varphi(r) \le \varphi(m)$, dove $\varphi$ rappresenta la funzione di Eulero.
Dimostrare che $r = m$.

Utilizzando il fatto che se $m | r$ allora $\varphi(m) |\varphi(r)$ si arriva subito al fatto che $\varphi(r)=\varphi(m)$, dopodichè non riesco a concludere.
Qualcuno ha qualche suggerimento? Grazie mille!

[Gi81]

Beh, tieni presente che deve essere $r=a*m$ con $a in NN$.
Dunque hai $varphi(a*m)= varphi(m)$, che implica necessariamente $a=1$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Gi8, non la stai facendo un po' troppo semplice? [tex]\varphi(6) = 2 = \varphi(3)[/tex].

[PZf]

Può essere utile ricordare che se scomponiamo il generico numero $n\in\NN$ in fattori primi $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_N^{k_N}$ allora vale
\[\varphi(n)=n\left(1-\frac 1{p_1}\right)\left(1-\frac 1{p_2}\right)...\left(1-\frac 1{p_N}\right)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)\]

[Gi81]

@Martino: però $3$ non è pari. Qui abbiamo la condizione che $m$ è pari

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

@Gi8: Non sto dicendo che l'enunciato del problema è sbagliato, sto dicendo che questa cosa che hai scritto

"Gi8":Beh, tieni presente che deve essere $r=a*m$ con $a in NN$.
Dunque hai $varphi(a*m)= varphi(m)$, che implica necessariamente $a=1$

è perlomeno incompleta: come fai a dedurre che [tex]a=1[/tex]?
Di sicuro stai dando per scontate delle cose, perché per tornare all'enunciato e a quello che ti ho scritto sopra, non capisco dove e come usi il fatto che [tex]m[/tex] è pari.

[Gi81]

Ho ragionato così:

Dobbiamo dimostrare che

Sia $n in NN$; consideriamo $2n$.
Se $EE k in NN$ tale che $varphi(2nk)<=varphi(2n)$ allora $k=1$.

Supponiamo per assurdo che $EE k>=2$ tale che $varphi(2nk)<=varphi(2n)$.
Scrivo l'unica fattorizzazione in fattori primi di $2n$: \[2n= {p_1}^{a^1}\cdot{p_2}^{a^2}\cdot \ldots \cdot{p_m}^{a^m}\]con $p_1
Si ha $varphi(2n)= p_1^{a_1-1}*p_2^{a_2-1}*...*.p_m^{a_m-1}*\prod_{j=1}^{m}(p_j -1)$
Distinguo due casi:

[*:6815a3fu] $EE p_i$ tale che $p_i | k$.
Allora $varphi(2nk)>= varphi(2n)*p_i > varphi(2n)$, Assurdo.
[/*:m:6815a3fu]
[*:6815a3fu]Nessun $p_i$ divide $k$.
Sia $p$ primo che divide $k$ e sia $a$ il massimo intero positivo tale che $p^a|k$ ($a>=1$).
Certamente $p>2$, dunque $p-1>1$.
Allora $varphi(2nk)>=varphi(2n)*p^{a-1}*(p-1)>varphi(2n)$, Assurdo.[/*:m:6815a3fu][/list:u:6815a3fu]

Effettivamente non è proprio una cosa semplicissima da vedere ad occhio; ma quando ho scritto prima mi sembrava più immediata, ecco tutto.

[robbis1]

Leggo ora le vostre risposte.
Inizialmente non trovavo così immediato che dovesse essere $a=1$, ma effettivamente dopo l'ultima spiegazione di Gi8 è più chiaro. Ed effettivamente mi pare che il tutto funzioni. Grazie a tutti per il prezioso aiuto!

[totissimus]

Propongo un'alternativa.
poniamo:\(\displaystyle r=ma\),\( \displaystyle d=MCD(m,a)\)
Abbiamo dunque:
\( \displaystyle \phi(m)=\phi(r)=\phi(ma)=\frac{\phi(m)\phi(a)d}{\phi(d)}\)
da cui: \( \displaystyle \phi(d)=\phi(a)d\)
ed essendo \( \displaystyle \phi(d)|\phi(a)\) segue che : \( \phi(d)=\phi(a)\)
e quindi anche \( \displaystyle d=1\) e \( \phi(a)=\phi(d)=\phi(1)=1\).
Pertando \( a=1\) oppure \( a=2\)
Il caso \( a=2\) è da escludere in quanto \( m\) è pari e \( d=1\).