Proprieta del logaritmo
Come si dimostra che $log_a (XY) = log_a |X| + log_a |Y| $ ?
$X*Y = X + Y $ ?
Ponendo $a^z = X " " a^t = Y$
$a^(zt) = a^z + a ^ t $ ?
$X*Y = X + Y $ ?
Ponendo $a^z = X " " a^t = Y$
$a^(zt) = a^z + a ^ t $ ?
Risposte
"DR1":
$X*Y = X + Y $ ?
"DR1":
Ponendo $a^z = X " " a^t = Y$
$a^(zt) = a^z + a ^ t $ ?
Io la sapevo così...
$a^(z+t) = a^z \cdot a ^ t $
Comunque io la risolverei così:
pongo $b=a^{log_{a}b}$ e $c=a^{log_{a}c}$;
moltiplico tra di loro i membri corrispondenti delle due uguaglianze, quindi:
$bc=a^{log_{a}b+log_{a}c}$,
allora $log_{a}bc=log_{a}a^{log_{a}b+log_{a}c}$
e quindi $log_{a}bc={log_{a}b+log_{a}c}$.
pongo $b=a^{log_{a}b}$ e $c=a^{log_{a}c}$;
moltiplico tra di loro i membri corrispondenti delle due uguaglianze, quindi:
$bc=a^{log_{a}b+log_{a}c}$,
allora $log_{a}bc=log_{a}a^{log_{a}b+log_{a}c}$
e quindi $log_{a}bc={log_{a}b+log_{a}c}$.
E' molto semplice. Vogliamo dimostrare che $\log_a bc = \log_a b + \log_a c$. Poniamo ora: $\log_a bc = w$, $\log_a b = v$ e $\log_a c = u$. La nostra è tesi è: $w = u + v$.
In base alle definizione di logaritmo si ricava che $a^u = b$, $a^v = c$ e $a^w = b \cdot c$. Pertanto $a^w = b \cdot c = a^u \cdot a^v = a^{u + v}$. Per la proprietà delle potenze ricaviamo $w = u + v$, ossia la tesi.
In base alle definizione di logaritmo si ricava che $a^u = b$, $a^v = c$ e $a^w = b \cdot c$. Pertanto $a^w = b \cdot c = a^u \cdot a^v = a^{u + v}$. Per la proprietà delle potenze ricaviamo $w = u + v$, ossia la tesi.
"Clorinda":
[quote="DR1"]
$ X*Y = X + Y $ ?
"DR1":
Ponendo $ a^z = X " " a^t = Y $
$ a^(zt) = a^z + a ^ t $ ?
Io la sapevo così...
$ a^(z+t) = a^z \cdot a ^ t $[/quote]
errore imperdonabile"Clorinda":
Comunque io la risolverei così:
pongo $ b=a^{log_{a}b} $ e $ c=a^{log_{a}c} $;
moltiplico tra di loro i membri corrispondenti delle due uguaglianze, quindi:
$ bc=a^{log_{a}b+log_{a}c} $,
allora $ log_{a}bc=log_{a}a^{log_{a}b+log_{a}c} $
e quindi $ log_{a}bc={log_{a}b+log_{a}c} $.
Grazie
le parentesi ${ }$ in questo caso non sono un errore ?
nella formula non c'è il modulo
$log_a B != log_a |B| $ ?
$log_a | B | = +- Y ? $
In teoria a meno che non si pongano le condizioni di esistenza (ma questo lo si fa solitamente prima di risolvere un'equazione/disequazione logaritmica) il modulo ci va per garantire appunto l'esistenza del logaritmo.
Nel senso che non si conosce il segno di $B$ ?
cioè,
$ log_a +- B$ ?
cioè,
$ log_a +- B$ ?
Ciao DR1 
Più che altro si impone all'argomento di essere strettamente positivo ($B > 0$) per il semplice fatto che altrimenti la definizione dello stesso perde di significato. Se ci pensi è equivalente a quando si pone il denominatore di una frazione diverso da $0$, l'argomento delle radici di indice pari strettamente positivo o l'argomento della funzione tangente diverso da $\pi / 2 + k \pi, k \in mathbb{Z}$ (sono tutti altri esempi di condizioni di esistenza).
Più che altro si impone all'argomento di essere strettamente positivo ($B > 0$) per il semplice fatto che altrimenti la definizione dello stesso perde di significato. Se ci pensi è equivalente a quando si pone il denominatore di una frazione diverso da $0$, l'argomento delle radici di indice pari strettamente positivo o l'argomento della funzione tangente diverso da $\pi / 2 + k \pi, k \in mathbb{Z}$ (sono tutti altri esempi di condizioni di esistenza).
quindi ho si scrive $|Y|$ o $y>0$ ?
Se scrivi $\log_a |y|$ allora sei già sicuro che questi è positivo (ma non sai se sia o meno nullo) e basta che imponi $y \ne 0$. Se invece scrivi $\log_a y$ allora è necessario imporre (a parte) la condizione di esistenza $y > 0$ (in tal caso banale). Attenzione: a volte quando si fanno degli esempi del tutto generici nell'argomento del logaritmo può essere presente un'espressione generica scritta mediante lettera maiuscola (ad esempio $A, B, C, \cdots$). Allora in tal caso la condizione $|A| > 0, |B| > 0, |C| > 0, \cdots$ va esplicitata in base alla particolare espressione che comparirà al posto delle lettere (che può essere più o meno articolata caso per caso).
In realtà non è solo un fatto di sicurezza. Se si guardano i domini delle due funzioni si ha che:
\(\displaystyle \mathrm{dom}\,\log FG = \{ x\in\mathbb{R} \colon \mathrm{sgn}\, F(x) = \mathrm{sgn}\, G(x) \neq 0 \} \)
\(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log F + \log G\bigr) = \{ x\in\mathbb{R} \colon F(x) > 0 \wedge G(x) > 0 \} \)
\(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log \lvert F\rvert + \log \lvert G\rvert\bigr) = \{ x\in\mathbb{R} \colon F(x) \neq 0 \wedge G(x) \neq 0 \} \)
Pertanto \(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log F + \log G\bigr) \subseteq \mathrm{dom}\,\log FG \subseteq \mathrm{dom}\bigl(\log \lvert F\rvert + \log \lvert G\rvert\bigr) \) ed entrambe le inclusioni possono essere strette. Perciò, bisognerebbe comunque dire che l'uguaglianza vale in \(\displaystyle \mathrm{dom}\,\log FG \) ma che in generale le due funzioni non sono proprio uguali.
Per esempio \(\displaystyle \log -x^2 \neq 2\log \lvert x\rvert = \log x^2 \)
\(\displaystyle \mathrm{dom}\,\log FG = \{ x\in\mathbb{R} \colon \mathrm{sgn}\, F(x) = \mathrm{sgn}\, G(x) \neq 0 \} \)
\(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log F + \log G\bigr) = \{ x\in\mathbb{R} \colon F(x) > 0 \wedge G(x) > 0 \} \)
\(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log \lvert F\rvert + \log \lvert G\rvert\bigr) = \{ x\in\mathbb{R} \colon F(x) \neq 0 \wedge G(x) \neq 0 \} \)
Pertanto \(\displaystyle \mathrm{dom}\bigl(\log F + \log G\bigr) \subseteq \mathrm{dom}\,\log FG \subseteq \mathrm{dom}\bigl(\log \lvert F\rvert + \log \lvert G\rvert\bigr) \) ed entrambe le inclusioni possono essere strette. Perciò, bisognerebbe comunque dire che l'uguaglianza vale in \(\displaystyle \mathrm{dom}\,\log FG \) ma che in generale le due funzioni non sono proprio uguali.
Per esempio \(\displaystyle \log -x^2 \neq 2\log \lvert x\rvert = \log x^2 \)
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