Proprietà classi di equivalenza (logica primo ordine)

[Lorin1]

Sia $\mathcal{L}$ un linguaggio che contiene oltre al simbolo di = un solo simbolo di relazione binaria R. Esprimere le seguenti proprietà:
a) R ha due classi di equivalenza;

Svolgimento:
L'ho scritta in due modi differenti, ma sono insicuro:
1)$AAxEEyEEz(R(x,y)vvR(x,z))$
Il dubbio nasce da questa forma, in pratica, per descrivere la proprietà (a) basta dire che comunque prendo un elemento esso o si trova nella classe di y oppure nella classe di z, per dire che esistono solo due classi di equivalenza?
2)$AAxEEyEEzEEt(R(x,y)vvR(x,z)^^(\neg(R(x,t)))$ (qui ho specificato che non può accadere che un x generico appartenga ad una terza classe)

Grazie...

[Pappappero1]

Ma il fatto che $R$ è una relazione di equivalenza è già dato???
E dire che $R$ ha due classi di equivalenza vuol dire che ne ha almeno due o esattamente due??

[Lorin1]

Si il fatto che R sia di equivalenza è già dato. Per la seconda domanda invece non posso dirti altro, ho riscritto esattamente quello che ho letto sugli esercizi...da qui il mio dubbio!

[Pappappero1]

Va bene...ricorda che bisogna sempre stare attenti all'ordine in cui vengono messi i quantificatori.

Comunque io direi che le cose possono essere messe così:

- se due classi significa almeno due classi basta dire che ci sono due elementi che stanno in due classi distinte, cioè che non sono in relazione tra loro: $EE x EE y \neg Rxy$.

- se invece si deve dire che le classi sono esattamente due, diciamo che le classi sono almeno due, cioè che ci sono due elementi non in relazione, e che per ogni altro elemento, questo è in relazione o con il primo o con il secondo: $EE x EEy AA z \neg Rxy ^^ ( Rxz vv Ryz )$.

La cosa che non mi è troppo chiara è perché nel testo dell'esercizio si dice che nel linguaggio c'è anche $=$.

[Lorin1]

Ci rifletterò...oggi ho fatto l'esame scritto, ma queste questioni vanno comunque chiarite...grazie per le osservazioni!