Proprietà archimedea

[gundamrx91-votailprof]

Siano [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] e [tex]a > b[/tex], allora [tex]\exists p \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]pb>a[/tex].

Questa proprietà l'ho trovata associata all'anello degli interi (infatti viene definito anello commutativo unitario ordinato archimedeo), ma anche con i numeri reali.... Ma in definitiva qual'è l'origine di questa proprietà?

Grazie

[garnak.olegovitc1]

Salve GundamRX91,

"GundamRX91":Siano [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] e [tex]a > b[/tex], allora [tex]\exists p \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]pb>a[/tex].

Questa proprietà l'ho trovata associata all'anello degli interi (infatti viene definito anello commutativo unitario ordinato archimedeo), ma anche con i numeri reali.... Ma in definitiva qual'è l'origine di questa proprietà?

Grazie

che intendi per origine?La storia?

Io l'ho visto sempre come un assioma?

Cordiali saluti

[gundamrx91-votailprof]

Intendo sapere se è, passami il termine, associata alla definizione di anelli degli interi, e quindi ne è una proprietà specifica, oppure deriva da altro.

Forse è meglio se chiarisco il motivo della domanda. Il docente di Algebra 1 ci ha chiesto di dimostrare il teorema sulla divisione euclidea, e il teorema che conosco io sfrutta appunto la proprietà archimedea, solo che dovrei motivare l'utilizzo di tale proprietà supponendo che io non sappia nulla di anelli....

[garnak.olegovitc1]

Salve GundamRX91,

"GundamRX91":Intendo sapere se è, passami il termine, associata alla definizione di anelli degli interi, e quindi ne è una proprietà specifica, oppure deriva da altro.

Forse è meglio se chiarisco il motivo della domanda. Il docente di Algebra 1 ci ha chiesto di dimostrare il teorema sulla divisione euclidea, e il teorema che conosco io sfrutta appunto la proprietà archimedea, solo che dovrei motivare l'utilizzo di tale proprietà supponendo che io non sappia nulla di anelli....

in sostanza tu hai incontrato l'assioma/proprietà archimedea solo nella definizione dell'anello commutativo unitario ordinato archimedeo e non come proprietà specifica degli interi, giusto? Cioè devi dimostare la proprietà archimedea in $ZZ$? Come lo presenti $ZZ$? Ovviamente, da quello che hai scritto non come un anello!

Cordiali saluti

[gundamrx91-votailprof]

Era quello che intendevo fare, ma il docente mi ha bocciato in partenza dicendo che dovevo essere chiaro....Si ma più chiaro di quanto ho enunciato nel primo post non saprei esserlo, oppure manca qualcosa a quella definizione....

[Gi81]

"GundamRX91":Siano [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] e [tex]a > b[/tex], allora [tex]\exists p \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]pb>a[/tex].

Deve essere $b!=0$, altrimenti questa proprietà non è vera.

[*:2cpkut99]Se $a<=0$ (dunque $b<0$) si prende $p= -1$[/*:m:2cpkut99]
[*:2cpkut99] Se $a>0$ si prende $p= (a+1)*\text{sgn}(b)$ [/*:m:2cpkut99][/list:u:2cpkut99]

[gundamrx91-votailprof]

Ecco!!! Grazie Gi8, penso proprio che il docente si riferisse a questo.

[Gi81]

Mi spiace che sia andata male Certamente eri in grado di farlo anche da solo, non ho dubbi.
Sarà stata l'emozione, o la confusione derivata dalla banalità della cosa

[gundamrx91-votailprof]

Non ci avevo proprio pensato che le "mie" condizioni iniziali non fossero sufficienti... Questo però almeno mi ha fatto capire una cosa: mai dare nulla per scontato.

Grazie ancora

[Kashaman]

Salve Gundam, potresti postare la dimostrazione di tale teorema che sfrutta la proprietà archimedea? Sono curioso. Io sono in possesso di questa :

sfrutta il principio del minimo.
Th Siano $a,b in ZZ$ , $b!=0$ . Allora esistono e sono univocamente determinati $q,r in ZZ$ tali che
1) $a=bq+r$
2) $0<=r<|b|$
dim
Consideriamo l'insieme $ X= { a-bx>=0| x in ZZ}$
esistenza
Si verifica facilmente che $X!=0$. Inoltre $X sube NN$. Quindi $EE r = minX$. Di conseguenza esiste $q in ZZ$ tale che $r=a-bq>=0 => 0<=r$. Verifichiamo che $r<=|b|$, cioè $r per assurdo supponiamo per assurdo che $r>=b => o<= r-b = a-b(q+1) => r-b in X$ Assurdo. perchè $r-b<=r$ , ma $r$ è il minimo di X. Ciò conclude l'esistenza. Risultano provate inoltre 1),2)
unicità
Siano $r_1,r_2 , q_1,q_2$ tali che $r=r_i , q=q_i$. E siano tali che soddisfano la 1) e la 2).
Allora , in particolare risulta che
$bq_1+r_1=bq_2+r_2$ $=> b(q_1-q_2)=r_2-r_2$. Supponendo ora $r_2>=r_1$. Risulta che $|b||(q_1-q_2) |<=|b(q_1-q_2)|<=r_2-r_1<|b|$
Ma allora , $0<=|q_1-q_2|<1 => |q_1-q_2|=0 => q_1=q_2$ . Ma allora quindi si ha anche che $r_1=r_2$. Ciò conclude la dimostrazione del teorema.

.

[gundamrx91-votailprof]

Questa è la dimostrazione che conosco:

dati due interi [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex], con [tex]b \ne 0[/tex], esiste un'unica coppia di interi [tex]q,r \in \mathbb{Z}[/tex] tali che [tex]a=qb+r[/tex] con [tex]0 \le r < |b|[/tex], dove [tex]q[/tex] ed [tex]r[/tex] sono rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di [tex]a[/tex] per [tex]b[/tex], che sono rispettivamente dividendo e divisore.

Dimostrazione.

Definizione: proprietà archimedea: siano [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex], con [tex]a >b[/tex] e [tex]b \ne 0[/tex], allora [tex]\exists p \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]pb > a[/tex]. Se [tex]a \le 0[/tex] (e quindi [tex]b < 0[/tex], allora [tex]p=-1[/tex]; se [tex]a>0[/tex] allora [tex]p=(a+1) \cdot sgn(b)[/tex].

Esistenza.
Non è restrittivo supporre [tex]a>b>0[/tex] e, per la proprietà archimedea, esiste un intero [tex]p \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]pb>a[/tex]. Sia allora [tex]P:=\{p \in \mathbb{Z} | pb>a\}[/tex] che, essendo limitato inferiormente, ammette minimo: [tex]p=q+1[/tex]. Allora [tex]a < pb[/tex] lo possiamo scrivere come [tex]a < (q+1)b[/tex] e [tex]a < qb+b[/tex]. Per ipotesi [tex]a,b>0[/tex] quindi anche [tex]0 \le a < qb+b[/tex]. Ora da [tex]0 \le a - qb < b[/tex], se chiamiamo [tex]r=a - qb[/tex] si ha la tesi [tex]0 \le r < |b|[/tex] e [tex]a = qb + r[/tex].

Unicità.
Siano [tex]q_1,r_1 \in \mathbb{Z}[/tex] un'altra coppia di interi tali che [tex]a = q_1b + r_1[/tex] con [tex]0 \le r_1 < |b|[/tex]. Bisogna dimostrare che [tex]q=q_1[/tex] e [tex]r=r_1[/tex]. Supponiamo per assurdo che [tex]q \ne q_1[/tex] e [tex]r \ne r_1[/tex] ed effettuiamo la differenza membro a membro tra [tex]a=qb+r[/tex] e [tex]a=q_1b+r_1[/tex]: [tex]0=b(q-q_1)+(r-r_1)[/tex]. Per ipotesi [tex]0 \le r < b[/tex] e [tex]0 \le r_1 < b[/tex], quindi anche la differenza [tex]0 \le|r - r_1|[/tex], che deve essere però minore di [tex]b[/tex] e di [tex]b(q-q_1)[/tex]: [tex]0 \le|r - r_1|< b < b(q-q_1)[/tex], in contraddizione con [tex]0=b(q-q_1)+(r-r_1)[/tex], per cui deve essere [tex]r-r_1=0[/tex] e [tex]q-q_1=0[/tex] da cui [tex]r=r_1[/tex] e [tex]q=q_1[/tex].