Proposizione sui gruppi risolubili

[liberatorimatteo]

Buonasera a tutti,
devo dimostrare una proposizione sui gruppi risolubili. Vi scrivo la definizione di gruppo risolubile dataci dal prof:

Un gruppo finito $G$ si dice risolubile se ogni sua serie di composizione (o filtrazione di Jordan-Holder) ha fattori di composizione ciclici e di cardinalità un primo

So che in realtà la definizione più generale dice che $G$ è risolubile se possiede una serie subnormale i cui fattori sono abeliani ma questa definizione non ci è stata data dal prof e vorrei evitare di utilizzarla (anche se comunque ho dimostrato l'equivalenza con quella dataci dal prof). Quindi usando la definizione del prof devo dimostrare che:

Un gruppo $G$ è risolubile se e solo se $G^((n))={e}$ per qualche $i\in\mathbb(N)$

DIMOSTRAZIONE
L'implicazione "$\Rightarrow$" mi è chiara. Il viceversa invece proprio per niente (usando l'altra definizione penso di esserci riuscito).
Allora... Considero la serie di sottogruppi ${e}\subsetG^((1))\subsetG$, Per ipotesi so che $G^((k+1))={e}$ per qualche $k$ (insomma vorrei dire che il mio $n$ è $k+1$... ok ma perché). Per induzione (???) $G^((1))$ è risolubile (??). Quindi $G/G^((1))$ è risolubile e $G^((1))$ è risolubile quindi anche $G$ è risolubile (questo mi è chiaro).

Praticamente penso di aver capito un pochino l'idea ma non ho capito l'induzione su cosa e come la fa... credo che la chiave di tutto si lei xD

Grazie mille!

[Studente Anonimo]

Ciao, l'induzione è fatta sulla cosiddetta "lunghezza derivata", cioè il più piccolo $n$ tale che [tex]G^{(n)}=\{e\}[/tex]. Detta $n$ la lunghezza derivata di $G$, è chiaro che la lunghezza derivata di $G^{(1)}$ è $n-1$. Inoltre $G//G^{(1)}$ è chiaramente abeliano quindi risolubile. Il resto ti è chiaro.

[liberatorimatteo]

Ciao, scusami il ritardo nel rispondere...
Ho provato a fare con l'induzione in quel modo ma ho avuto qualche difficoltà, alla fine rivedendo la dimostrazione con un compagno di studi penso di aver capito, riporto la dimostrazione:

Procediamo per induzione su $#G$. Se $#G=1$ allora $G={e}$ e quindi è banalmente vero. Supponiamo vero l'enunciato $\forallG:#G

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[Studente Anonimo]

Sì va bene anche così.