Proposizione su sottogruppi
Devo dimostrare che un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo $G$ di un campo è ciclico; ho a disposizione il lemma che dice che in un gruppo commutativo se ho due elementi con ordini primi tra loro allora il prodotto dei due elementi ha come ordine il prodotto dei due ordini.
Scompongo l'ordine di $G$ come $(p_1)^a_1 (p_r^a_r)$ e considero il polinomio $x^frac{|G|,p_i}-1$. Esso ha al più $frac{|G|,p_i}$ radici nel campo, quindi sicuramente esiste un $b_i$ tale che $b_i^frac{|G|,p_i}$ non fa $1$.
Sia $c_i=b_i^frac{|G|,p_i}$. Dovrei dimostrare che l'ordine di $c_i$ è $p_i^a_i$.
E' facile vedere con una verifica diretta che l'ordine di $c_i$ divide $p_i^a_i$.
Per dimostrare che $p_i^a_i$ è il minimo esponente che dà $1$ elevato a $c_i$ il libro verifica solo che $p_i^a_i-1$ effettivamente non dà 1, ma non capisco perchè risulti sufficiente a provare chi è l'ordine di $c_i$.
Grazie a tutti.
Scompongo l'ordine di $G$ come $(p_1)^a_1 (p_r^a_r)$ e considero il polinomio $x^frac{|G|,p_i}-1$. Esso ha al più $frac{|G|,p_i}$ radici nel campo, quindi sicuramente esiste un $b_i$ tale che $b_i^frac{|G|,p_i}$ non fa $1$.
Sia $c_i=b_i^frac{|G|,p_i}$. Dovrei dimostrare che l'ordine di $c_i$ è $p_i^a_i$.
E' facile vedere con una verifica diretta che l'ordine di $c_i$ divide $p_i^a_i$.
Per dimostrare che $p_i^a_i$ è il minimo esponente che dà $1$ elevato a $c_i$ il libro verifica solo che $p_i^a_i-1$ effettivamente non dà 1, ma non capisco perchè risulti sufficiente a provare chi è l'ordine di $c_i$.
Grazie a tutti.
Risposte
I gruppi ciclici sono tutti e soli i gruppi che hanno per ogni divisore di dell'ordine del gruppo esattamente $phi(d)$ elementi di quell'ordine, in particolare se un gruppo ha al più $d$ elementi per ogni divisore $d$ dell'ordine del gruppo allora è ciclico...
Comunque i gruppi abeliani hanno un elemento di ordine massimo (che è uguale all'ordine del gruppo solo se il gruppo è ciclico) e l'ordine di ogni altro elemento del gruppo divide l'ordine massimale. Da qui la strada è semplice.
Comunque i gruppi abeliani hanno un elemento di ordine massimo (che è uguale all'ordine del gruppo solo se il gruppo è ciclico) e l'ordine di ogni altro elemento del gruppo divide l'ordine massimale. Da qui la strada è semplice.
Ti ringrazio delle informazioni, ma non credo di averle già viste da qualche parte.
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