Proposizione Anelli
Siano $\a,b \in A$ anello commutativo con identità. Dimostrare che se $\a$ e $\b$ sono nilpotenti allora $\a+b$ è nilpotente.
Volevo dimostrarlo usando il binomio di Newton su $\(a+b)^t$ con $\t>k>=h>0$ con $\h$ e $\k$ $\in |N$ tali che $a^h=0$ e $\b^k=0$ con $\(a,b)\ne(0,0)$.
Si vede facilmente facendo una prova con dei numeri al posto di t,k,h... A che serve che ci sia l'unità????
Però con le stesse ipotesi sull'anello ho dimostrato in un esercizio precedente che se $\a$ è invertibile e $\b$ è nilpotente allora $\a+b$ è invertibile...
Volendo usare questa prop mi è venuto da dire:
sia $\c$ invertibile in A, allora $\a+c$ e $\b+c$ sono invertibili;
ma a è nilpotente, allora $\a+(b+c)=(a+b)+c$ è invertibile.... come potrei procedere? e che ruolo avrebbe l'unità???
Grazie mille in anticipo...
Volevo dimostrarlo usando il binomio di Newton su $\(a+b)^t$ con $\t>k>=h>0$ con $\h$ e $\k$ $\in |N$ tali che $a^h=0$ e $\b^k=0$ con $\(a,b)\ne(0,0)$.
Si vede facilmente facendo una prova con dei numeri al posto di t,k,h... A che serve che ci sia l'unità????
Però con le stesse ipotesi sull'anello ho dimostrato in un esercizio precedente che se $\a$ è invertibile e $\b$ è nilpotente allora $\a+b$ è invertibile...
Volendo usare questa prop mi è venuto da dire:
sia $\c$ invertibile in A, allora $\a+c$ e $\b+c$ sono invertibili;
ma a è nilpotente, allora $\a+(b+c)=(a+b)+c$ è invertibile.... come potrei procedere? e che ruolo avrebbe l'unità???
Grazie mille in anticipo...
Risposte
Forse non serve che ci sia l'unita'.
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