Progressioni aritmetiche
salve avrei bisogno di un aiuto con le seguenti dimostrazioni di progressioni aritmetiche, la consegna dell'esercizio è: dimostrare, con il principio di induzione, le seguenti uguaglianze:
1) $ 1//2*1+1//2*3+...+1//n(n+1) = n//n+1 $
2) $ 1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=2-n+2//2^n $
3) $ 1+2q+3q^2+...+nq^(n-1)=1-(n+1)q^n+nq^(n+1)// (1-q)^2 $
grazie spero di averle scritte in modo corretto.
1) $ 1//2*1+1//2*3+...+1//n(n+1) = n//n+1 $
2) $ 1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=2-n+2//2^n $
3) $ 1+2q+3q^2+...+nq^(n-1)=1-(n+1)q^n+nq^(n+1)// (1-q)^2 $
grazie spero di averle scritte in modo corretto.
Risposte
Vedi se le uguaglianze valgono per $n=1$ e $k=2$, supponi poi che valgano fino ad un certo $n$ dimostra quindi che vale anche per $n+1$. (Non sono stato proprio formale lo capisco)
Per esempio la 1)
Vale per n=1,2 OK!
Supponiamo valga fino ad un certo $n$
$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+....+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
Ora sommiamo il termine $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ad entrambi i membri, in particolare al secondo membro abbiamo che:
$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
Cioè l'uguaglianza è vera anche per $n+1$ dunque per il principio d'induzione è vera per ogni $n \in NN$
Per esempio la 1)
Vale per n=1,2 OK!
Supponiamo valga fino ad un certo $n$
$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+....+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
Ora sommiamo il termine $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ad entrambi i membri, in particolare al secondo membro abbiamo che:
$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
Cioè l'uguaglianza è vera anche per $n+1$ dunque per il principio d'induzione è vera per ogni $n \in NN$
ma come mai hai scelto proprio il termine
$ 1//(n+2)(n+1) $
non capisco da dove si prende
$ 1//(n+2)(n+1) $
non capisco da dove si prende
Il termine generale è $\frac{1}{k(k+1)}$ con $k \in NN$ Abbiamo subbosto che sommando i primi $n$ (quindi $1 \leq k \leq n$) termini vale l'uguaglianza, dunque per mostrare che vale anche con $n+1$ termini dovrò aggiungere alla somma il termine con $k=n+1$
ohhh capito grazie milleeee 
[quote=dan95] scusami dan95 ma qualcosa non mi è chiaro ancora... mi aiuteresti ancora con la seconda e la terza? a me la seconda viene che non è verificata per n=2 ma mi sa che sto sbagliando qualcosa
Credo che ci siano degli errori nella scrittura delle uguaglianze.
Dovrebbe essere:
2) $ 1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=2-\frac{(n+2)}{2^n} $
3) $ 1+2q+3q^2+...+nq^(n-1)=\frac {1-(n+1)q^n+nq^(n+1)}{(1-q)^2} $
Dovrebbe essere:
2) $ 1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=2-\frac{(n+2)}{2^n} $
3) $ 1+2q+3q^2+...+nq^(n-1)=\frac {1-(n+1)q^n+nq^(n+1)}{(1-q)^2} $
@marina
Scusa non avevo visto il mess. con le uguaglianze riscritte meglio da vector dovrebbero valere.
Per esempio la seconda vale per $n=2$
$1/2+2/2^2=2-(2+2)/2^2=1$
Supponiamo che valga fino ad $n$:
$1/2+2/2^2+...+n/2^n=2-\frac{n+2}{2^n}$
Sommiamo ad entrambi i membri $\frac{n+1}{2^{n+1}}$
Il secondo membro diventa $2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}$...
Scusa non avevo visto il mess. con le uguaglianze riscritte meglio da vector dovrebbero valere.
Per esempio la seconda vale per $n=2$
$1/2+2/2^2=2-(2+2)/2^2=1$
Supponiamo che valga fino ad $n$:
$1/2+2/2^2+...+n/2^n=2-\frac{n+2}{2^n}$
Sommiamo ad entrambi i membri $\frac{n+1}{2^{n+1}}$
Il secondo membro diventa $2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}$...
ok finalmente ci sono! grazie Dan e grazie anche a te V3ct0r! 
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