Prodotto tensioriale isomorfismo
Siano \( R \) un anello, \(M\) un \(R\)-modulo e \(I\) un ideale di \( R \). Dimostra che \( M \otimes_R (R / I) \cong M/(IM) \).
Io ho pensato di fare nel seguente modo. Ma non sono sicurissimo. Vi chiederei di dirmi se è giusto oppure no.
Faccio un applicazione \( f_1 : M \to M \oplus (R / I) \) e \( f_2 : M \oplus (R / I) \to M \otimes_R (R / I) \).
Pongo \(f = f_2 \circ f_1 \). Voglio dimostrare che \(f\) è suriettiva e dimostrare che il \( \ker f = IM \). In questo modo uso il teorema di isomorfismo.
Sia \( M \ni m \mapsto f_1(m)=(m,[1]) \in M \oplus (R \ I) \) e sia \( (m,[1]) \mapsto f_2(m,[1]) = m \otimes [1] \).
Ora abbiamo che è suriettiva perché se
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] \]
(non sono sicuro di questa uguaglianza)
e \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in M \).
Il \( \ker \) è tutto \(IM\) poiché se \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in M \) e \(r_i \in I \) allora
\[ f \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] = \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [0] = 0 \]
D'altra parte se
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = 0 \]
allora \( [r_i] = [0] \) oppure \(m_i = 0 \), in entrambi i casi abbiamo che siccome
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] \]
allora \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in IM \)
Io ho pensato di fare nel seguente modo. Ma non sono sicurissimo. Vi chiederei di dirmi se è giusto oppure no.
Faccio un applicazione \( f_1 : M \to M \oplus (R / I) \) e \( f_2 : M \oplus (R / I) \to M \otimes_R (R / I) \).
Pongo \(f = f_2 \circ f_1 \). Voglio dimostrare che \(f\) è suriettiva e dimostrare che il \( \ker f = IM \). In questo modo uso il teorema di isomorfismo.
Sia \( M \ni m \mapsto f_1(m)=(m,[1]) \in M \oplus (R \ I) \) e sia \( (m,[1]) \mapsto f_2(m,[1]) = m \otimes [1] \).
Ora abbiamo che è suriettiva perché se
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] \]
(non sono sicuro di questa uguaglianza)
e \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in M \).
Il \( \ker \) è tutto \(IM\) poiché se \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in M \) e \(r_i \in I \) allora
\[ f \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] = \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [0] = 0 \]
D'altra parte se
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = 0 \]
allora \( [r_i] = [0] \) oppure \(m_i = 0 \), in entrambi i casi abbiamo che siccome
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = \left( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \right) \otimes [1] \]
allora \( \sum_{k=0}^{n} m_i r_i \in IM \)
Risposte
"3m0o":Questo non è vero!
[...] D'altra parte se
\[ \sum_{k=0}^{n} m_i \otimes [r_i] = 0 \]
allora \( [r_i] = [0] \) oppure \(m_i = 0 \) [...]
Uhmm... perché?
Quindi \( IM \subseteq \ker f \) ma non è vero che \( \ker f \subseteq IM \)?
Quindi \( IM \subseteq \ker f \) ma non è vero che \( \ker f \subseteq IM \)?
Il ragionamento che hai fatto non è sbagliato, ma puoi formalizzarlo in un modo che rende piu chiaro cosa devi dimostrare: esiste una successione esatta
\[
R \to R/I \to 0
\]
secondo, \(M\otimes_R-\) è esatto a destra, quindi questa successione esatta viene mappata in una successione esatta
\[
M\cong M\otimes_R R \to M\otimes_R R/I \to 0
\] per cui la mappa \(M\to M\otimes R/I\) definita da \(\sum m_i\otimes r_i \mapsto \sum m_i \otimes(r_i+I)\) è suriettiva; ti basta controllare che ha per nucleo esattamente \(IM\).
\[
R \to R/I \to 0
\]
secondo, \(M\otimes_R-\) è esatto a destra, quindi questa successione esatta viene mappata in una successione esatta
\[
M\cong M\otimes_R R \to M\otimes_R R/I \to 0
\] per cui la mappa \(M\to M\otimes R/I\) definita da \(\sum m_i\otimes r_i \mapsto \sum m_i \otimes(r_i+I)\) è suriettiva; ti basta controllare che ha per nucleo esattamente \(IM\).
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