Prodotto semidiretto esterno
Salve a tutti
Ho un dubbio sui prodotti semidiretti e vi espongo le mie idee. Spero che qualcuno possa correggermi e darmi delucidazioni a riguardo.
Se qualcuno mi dà un gruppo $G:=H\rtimes_{\tau} K$, dove $H,K$ gruppi, per me questo a priori è un prodotto semidiretto costruito esternamente a partire da gruppi a sè stanti noti $H$ e $K$ appunto. Già qua mi piacerebbe avere una conferma.
Ora se qualcuno mi chiede se $H$ sia un sottogruppo di $G$ la mia risposta sarebbe negativa perchè al massimo sarebbe $\bar{H}:=H\times {e_k}$ ad essere sottogruppo di $G$, come immersione (nemmeno unica potenzialmente!) di $H$ in $G$. Analogo discorso per $K$
A questo punto si potrebbe continuare dicendo che a priori non è nemmeno vero che $\bar{H}$ sia normale in $G$. Questo perchè $\tau:K\rightarrow Aut(H)$ è sì un'azione di $K$ su $H$, ma non è detto che sia il coniugio! E comunque dipenderebbe sempre da chi sia $\tau$ perchè si dovrebbe verificare dentro $G:=H\rtimes_{\tau} K$ che il sottogruppo $\bar{H}$ sia effettivamente normale.
Però mi pare di aver capito\intuito che esista una scelta opportuna di $\bar{H}$ e $\bar{K}$ immersioni di $H$ e di $K$ in $G$ tali che $\bar{H}$ normale in $G$, $\bar{K}$ tale che $|\bar{H}\cap \bar{K}|=1$ (
(Nel caso fosse giusta questa cosa appena scritta mi servirebbe una mano o un riferimento per dimostrarla per favore)
Quindi in sostanza $G\cong \bar{H}\rtimes_{c}\bar{K}$ quindi $\bar{H}\rtimes_{c}\bar{K} \cong H\rtimes_{\tau}K$.
Se tutto ciò è vero e non ho sbagliato nulla posso dire che per ogni costruzione esterna esiste sempre una equivalente costruzione interna (con il coniugio) vero?
grazie in anticipo a chi risponderà
Ho un dubbio sui prodotti semidiretti e vi espongo le mie idee. Spero che qualcuno possa correggermi e darmi delucidazioni a riguardo.
Se qualcuno mi dà un gruppo $G:=H\rtimes_{\tau} K$, dove $H,K$ gruppi, per me questo a priori è un prodotto semidiretto costruito esternamente a partire da gruppi a sè stanti noti $H$ e $K$ appunto. Già qua mi piacerebbe avere una conferma.
Ora se qualcuno mi chiede se $H$ sia un sottogruppo di $G$ la mia risposta sarebbe negativa perchè al massimo sarebbe $\bar{H}:=H\times {e_k}$ ad essere sottogruppo di $G$, come immersione (nemmeno unica potenzialmente!) di $H$ in $G$. Analogo discorso per $K$
A questo punto si potrebbe continuare dicendo che a priori non è nemmeno vero che $\bar{H}$ sia normale in $G$. Questo perchè $\tau:K\rightarrow Aut(H)$ è sì un'azione di $K$ su $H$, ma non è detto che sia il coniugio! E comunque dipenderebbe sempre da chi sia $\tau$ perchè si dovrebbe verificare dentro $G:=H\rtimes_{\tau} K$ che il sottogruppo $\bar{H}$ sia effettivamente normale.
Però mi pare di aver capito\intuito che esista una scelta opportuna di $\bar{H}$ e $\bar{K}$ immersioni di $H$ e di $K$ in $G$ tali che $\bar{H}$ normale in $G$, $\bar{K}$ tale che $|\bar{H}\cap \bar{K}|=1$ (
) in modo che $\bar{H}\rtimes_{c}\bar{K}$ sia una costruzione interna a $G$ del prodotto semidiretto, dove $c: \bar{K} \rightarrow Aut(\bar{H})$ è l'azione di $\bar{K}$ per coniugio su $\bar{H}$.
(Nel caso fosse giusta questa cosa appena scritta mi servirebbe una mano o un riferimento per dimostrarla per favore)
Quindi in sostanza $G\cong \bar{H}\rtimes_{c}\bar{K}$ quindi $\bar{H}\rtimes_{c}\bar{K} \cong H\rtimes_{\tau}K$.
Se tutto ciò è vero e non ho sbagliato nulla posso dire che per ogni costruzione esterna esiste sempre una equivalente costruzione interna (con il coniugio) vero?
grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Esatto, in altre parole, detto [tex]G=H \rtimes K[/tex] (costruito a partire da una certa azione di $K$ su $H$, cioè un omomorfismo di gruppi $phi:K to Aut(H)$), se chiami $A$ l'insieme degli elementi di $G$ della forma $(h,1)$ con $h in H$ e se chiami $B$ l'insieme degli elementi di $G$ della forma $(1,k)$ con $k in K$ allora $A$ è un sottogruppo normale in $G$ isomorfo a $H$, $B$ è un sottogruppo di $G$ isomorfo a $K$, $A nn B = {1}$ e $AB=G$. Hai provato a dimostrarlo?
PS. Quando si dice "$H$ è un sottogruppo di [tex]H \rtimes K[/tex]" si intende sempre che $H$ è identificato con [tex]\{(h,1)\ :\ h \in H\}[/tex] e quando si dice "$K$ è un sottogruppo di [tex]H \rtimes K[/tex]" si intende sempre che $K$ è identificato con [tex]\{(1,k)\ :\ k \in K\}[/tex].
PS. Quando si dice "$H$ è un sottogruppo di [tex]H \rtimes K[/tex]" si intende sempre che $H$ è identificato con [tex]\{(h,1)\ :\ h \in H\}[/tex] e quando si dice "$K$ è un sottogruppo di [tex]H \rtimes K[/tex]" si intende sempre che $K$ è identificato con [tex]\{(1,k)\ :\ k \in K\}[/tex].
"Martino":
Hai provato a dimostrarlo?
Ci sto provando. Quello che mi blocca ancora è come faccio a dire che quella che tu hai chiamato $A$ sia normale in $G$. Il resto mi è abbastanza chiaro.
Mi spiego meglio:
A priori $A$ e $B$ non sono le uniche immersioni eventualmente disponibili dei gruppi $H$ e $K$, ma loro ci sono sicuramente! E comunque mi starebbe bene, soprattutto se poi addirittura $A$ stesso si dimostrasse normale in $G$! Userei lui come "modello", che è molto più maneggevole, e avrei finito. Il problema è proprio che c'è quella $\phi$ che a priori non so come faccia agire $K$ su $H$.
In parole povere, per dire che $A$ è normale in $G$ dovrei dire che lo è dentro il gruppo $H\rtimes_{\phi}K$. Quindi dovrei fare proprio il conto a mano con $\phi$, cioè coniugare $A$ con un generico elemento di $H\rtimes_{\phi}K$ e vedere che finisce davvero di nuovo in $A$... ma per questo mi serve sapere cosa fa $\phi$. A meno che non ci sia un argomento più generale che mi permetta di concludere subito che $A$ è normale in $H\rtimes_{\phi}K$. A quel punto comunque tutto il resto segue facilmente esattamente come ho scritto nel post precedente (immagino!)...
Ciao, comincio dall'inizio 
Sì, naturalmente $H$ non è sottogruppo di $H\rtimes K$, ma si intende proprio quello che hai detto, cioè che si può immergere. Confermo quando dici che l'immersione non è unica, infatti se hai studiato i $p$-Sylow saprai che se il $p$-Sylow non è normale in $G$, allora $G$ contiene diverse copie del gruppo. Tuttavia, tra le varie possibili immersioni ce n'è una che è sospettabile di privilegi, ovvero quella che hai menzionato: $i:h\mapsto (h,1)$ (e analogo per $K$; non è difficile mostrare che sono due omomorfismi iniettivi).
Detto questo, parliamo della normalità di $H$: sì, $H$ è normale in $H\rtimes K$ e lo vediamo banalmente con i conti (ricordo che $H$ indica il sottogruppo identificato dall'immersione di prima).
Per prima cosa ricordiamo che $(a,b)^{-1}=(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})$; per verificare la normalità di $H$ ci basta mostrare che per ogni $h\in H$ esiste $h'\in H$ tale che per ogni $(a,b)\in H\rtimes K$
$(a,b)(h,1)(a,b)^{-1}=(h',1)$
Svolgiamo i conti a sinistra (sto usando la notazione moltiplicativa, in cui l'uno è l'identità del gruppo)
$(a,b)(h,0)(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})=$
$=(a\tau(b)(h),b)(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})=$
$=(a\tau(b)(h)a^{-1},0)$
e questo conclude perché $\tau(b)(h)=h''\in H$, inoltre $a\in H$ e quindi $ah''a^{-1}=h'\in H$ (perdona la pesantezza ma è teoria dei gruppi dopo tutto
)
Per concludere $K$ e $H$ con le immersioni dette prima hanno ovviamente intersezione nulla, uno dei due è normale ed è ovvio che $HK=G$: dunque è possibile la costruzione del semidiretto tramite coniugio!
Sì, naturalmente $H$ non è sottogruppo di $H\rtimes K$, ma si intende proprio quello che hai detto, cioè che si può immergere. Confermo quando dici che l'immersione non è unica, infatti se hai studiato i $p$-Sylow saprai che se il $p$-Sylow non è normale in $G$, allora $G$ contiene diverse copie del gruppo. Tuttavia, tra le varie possibili immersioni ce n'è una che è sospettabile di privilegi, ovvero quella che hai menzionato: $i:h\mapsto (h,1)$ (e analogo per $K$; non è difficile mostrare che sono due omomorfismi iniettivi).
Detto questo, parliamo della normalità di $H$: sì, $H$ è normale in $H\rtimes K$ e lo vediamo banalmente con i conti (ricordo che $H$ indica il sottogruppo identificato dall'immersione di prima).
Per prima cosa ricordiamo che $(a,b)^{-1}=(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})$; per verificare la normalità di $H$ ci basta mostrare che per ogni $h\in H$ esiste $h'\in H$ tale che per ogni $(a,b)\in H\rtimes K$
$(a,b)(h,1)(a,b)^{-1}=(h',1)$
Svolgiamo i conti a sinistra (sto usando la notazione moltiplicativa, in cui l'uno è l'identità del gruppo)
$(a,b)(h,0)(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})=$
$=(a\tau(b)(h),b)(\tau(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})=$
$=(a\tau(b)(h)a^{-1},0)$
e questo conclude perché $\tau(b)(h)=h''\in H$, inoltre $a\in H$ e quindi $ah''a^{-1}=h'\in H$ (perdona la pesantezza ma è teoria dei gruppi dopo tutto
)Per concludere $K$ e $H$ con le immersioni dette prima hanno ovviamente intersezione nulla, uno dei due è normale ed è ovvio che $HK=G$: dunque è possibile la costruzione del semidiretto tramite coniugio!
"Isaac888":Ma non è mica vero che tutte le immersioni di $H$ in [tex]G=H \rtimes K[/tex] danno luogo a sottogruppi normali di $G$. Nessuno ha detto questo. E' quell'immersione particolare (sulla prima componente) che dà luogo a un sottogruppo normale. Poi non capisco perché ti preoccupi delle altre immersioni. A priori non c'è assolutamente nessuna speranza di classificare tutte le immersioni di $H$ in $G$.
A priori $A$ e $B$ non sono le uniche immersioni eventualmente disponibili dei gruppi $H$ e $K$, ma loro ci sono sicuramente! E comunque mi starebbe bene, soprattutto se poi addirittura $A$ stesso si dimostrasse normale in $G$! Userei lui come "modello", che è molto più maneggevole, e avrei finito.
Il problema è proprio che c'è quella $\phi$ che a priori non so come faccia agire $K$ su $H$.
E' dato un omomorfismo $phi:K to Aut(H)$. Questo definisce un'azione di $K$ su $H$ come segue: [tex]h^k := h^{k \phi}[/tex], dove [tex]k \phi[/tex] indica l'immagine di $k$ tramite $phi$ (è una notazione a destra).
Ora l'operazione in $G$ è data da
[tex](h_1,k_1) (h_2,k_2) := (h_1 h_2^{k_1^{-1}},k_1k_2)[/tex]
Quello che stai cercando di dimostrare è che
[tex](h,k)^{-1} (m,1) (h,k)[/tex]
appartiene ad $A$ (cioè la sua seconda componente è $1$). Basta che dimostri questo, che è un semplice conticino algebrico.
Osserva che $(h,k)^(-1) = ((h^(-1))^k,k^(-1))$.
Grazie mille davvero a entrambi!
Stavo per convincermi proprio di questo. Meno male che me lo hai fatto notare. Grazie doppiamente
"Martino":
Ma non è mica vero che tutte le immersioni di $ H $ in \( G=H \rtimes K \) danno luogo a sottogruppi normali di $ G $. Nessuno ha detto questo. E' quell'immersione particolare (sulla prima componente) che dà luogo a un sottogruppo normale.
Stavo per convincermi proprio di questo. Meno male che me lo hai fatto notare. Grazie doppiamente
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