Prodotto semidiretto e unicità della scrittura
Sono digiuno di algebra da qualche anno e quindi chiedo scusa per la banalità della questione, ma mi è venuto un dubbio.
Se ho un gruppo $G$ che è prodotto diretto di due sottogruppi $H,K$ allora ho che ogni elemento di $G$ si scrive in modo unico nella forma $g=hk$ con $h \in H$ e $k \in K$.
Nel caso il prodotto sia semidiretto cosa posso dire sulla scomposizione? (se posso dire qualcosa)
Grazie!
Se ho un gruppo $G$ che è prodotto diretto di due sottogruppi $H,K$ allora ho che ogni elemento di $G$ si scrive in modo unico nella forma $g=hk$ con $h \in H$ e $k \in K$.
Nel caso il prodotto sia semidiretto cosa posso dire sulla scomposizione? (se posso dire qualcosa)
Grazie!
Risposte
Anche in quel caso la scrittura e' unica. Come insieme, il prodotto semidiretto puo' essere espresso come insieme di coppie $(h,k) \in H \times K$. E' il prodotto tra queste coppie che coinvolge l'azione di uno dei due gruppi sull'altro (azione che nel caso del prodotto diretto e' l'azione banale).
Ti ringrazio!
Dunque per ogni elemento $g \in G$ esistono e sono unici due elementi $h \in H, k \in K$ tali che $g=hk$? Allora, se la scrittura è unica, dove si vede la peculiarità del "semidiretto"?(Ok, nel prodotto, quindi anche nel coniugio, giusto?)
Come posso pensare il prodotto semidiretto?
Se chiamo $C_n$ un gruppo ciclico di ordine $n\inN$, quale è la differenza fra $G=C_n \times C_n$, dove leggo $\times$ una volta diretto e l'altra semidiretto?
Grazie!
Dunque per ogni elemento $g \in G$ esistono e sono unici due elementi $h \in H, k \in K$ tali che $g=hk$? Allora, se la scrittura è unica, dove si vede la peculiarità del "semidiretto"?(Ok, nel prodotto, quindi anche nel coniugio, giusto?)
Come posso pensare il prodotto semidiretto?
Se chiamo $C_n$ un gruppo ciclico di ordine $n\inN$, quale è la differenza fra $G=C_n \times C_n$, dove leggo $\times$ una volta diretto e l'altra semidiretto?
Grazie!
Cambio un pochino le notazioni per rendere le cose piu' chiare, visto che il ruolo dei due gruppi, nel caso del prodotto semidiretto, non e' simmetrico.
Sia $N$ un gruppo e sia $H$ un altro gruppo. Per definire il prodotto semidiretto ci serve un'azione di $H$ su $N$, cioe' un morfismo di gruppi $\Phi : H \to Aut(N)$ (indico $\Phi(h) = \phi_h$ che e' un morfismo da $N$ in $N$).
Allora il prodotto semidiretto $G = N \rtimes H$ (a volte si indica $\rtimes_\Phi$ se l'azione non ovvia) e' la struttura di gruppo definita sull'insieme $N \times H$ tramite l'operazione:
$$
(n_1,h_1) (n_2,h_2) = (n_1 \phi_{h_1}(n_2) , h_1 h_2).
$$
dove nella prima componente c'e' l'operazione di $N$ e nella seconda l'operazione di $H$.
Il prodotto diretto e' un caso molto particolare di prodotto semidiretto in cui il morfimo $\Phi$ e' identicamente $id_N$.
Nel caso che proponi con i gruppi ciclici, bisogna stare attenti a quale e' l'azione di $C_n$ su se stesso. Ad esempio se $n$ e' primo, questa azione e' per forza banale e piu' in generale e' banale ogni volta che $n$ e' dispari e libero da quadrati oppure $n$ e' pari, non divisibile per $3$ e libero da quadrati: questo si basa semplicemente sul fatto che deve esistere un morfismo non banale da $C_n$ in $Aut(C_n)$.
L'esempio piu' facile di prodotto semidiretto che non e' diretto e' $C_3 \rtimes C_2$ dove l'azione di $C_2 = \langle \tau \rangle$ su $C_3$ e' dato da $\tau: n \mapsto n^{-1}$. In questo caso il prodotto semidiretto e' $D_3$, il gruppo delle simmetrie del triangolo (che poi e' uguale a $S_3$): il generatore di $C_3$ corrisponde alla rotazione, quello di $C_2$ corrisponde a una qualsiasi delle riflessioni - se vogliamo vederlo come $S_3$, allora il genertore di $C_3$ corrisponde a uno dei due $3$-cicli, e quello di $C_2$ a una qualsiasi delle trasposizioni.
Sia $N$ un gruppo e sia $H$ un altro gruppo. Per definire il prodotto semidiretto ci serve un'azione di $H$ su $N$, cioe' un morfismo di gruppi $\Phi : H \to Aut(N)$ (indico $\Phi(h) = \phi_h$ che e' un morfismo da $N$ in $N$).
Allora il prodotto semidiretto $G = N \rtimes H$ (a volte si indica $\rtimes_\Phi$ se l'azione non ovvia) e' la struttura di gruppo definita sull'insieme $N \times H$ tramite l'operazione:
$$
(n_1,h_1) (n_2,h_2) = (n_1 \phi_{h_1}(n_2) , h_1 h_2).
$$
dove nella prima componente c'e' l'operazione di $N$ e nella seconda l'operazione di $H$.
Il prodotto diretto e' un caso molto particolare di prodotto semidiretto in cui il morfimo $\Phi$ e' identicamente $id_N$.
Nel caso che proponi con i gruppi ciclici, bisogna stare attenti a quale e' l'azione di $C_n$ su se stesso. Ad esempio se $n$ e' primo, questa azione e' per forza banale e piu' in generale e' banale ogni volta che $n$ e' dispari e libero da quadrati oppure $n$ e' pari, non divisibile per $3$ e libero da quadrati: questo si basa semplicemente sul fatto che deve esistere un morfismo non banale da $C_n$ in $Aut(C_n)$.
L'esempio piu' facile di prodotto semidiretto che non e' diretto e' $C_3 \rtimes C_2$ dove l'azione di $C_2 = \langle \tau \rangle$ su $C_3$ e' dato da $\tau: n \mapsto n^{-1}$. In questo caso il prodotto semidiretto e' $D_3$, il gruppo delle simmetrie del triangolo (che poi e' uguale a $S_3$): il generatore di $C_3$ corrisponde alla rotazione, quello di $C_2$ corrisponde a una qualsiasi delle riflessioni - se vogliamo vederlo come $S_3$, allora il genertore di $C_3$ corrisponde a uno dei due $3$-cicli, e quello di $C_2$ a una qualsiasi delle trasposizioni.
Ti ringrazio. Ma quindi nel caso io faccia il prodotto fra due elementi qualsiasi del gruppo $G$, posso pensare che, usando le tue notazioni, la parte di $H$ si moltiplichi "tradizionalmente", mentre la parte di $N$ si modifichi secondo l'automorfismo associato?
In altre parole se ho $g=g_1 g_2, h= h_1 h_2$ allora $gh=(g_1 \phi_{g_2}(h_2))h_1 h_2$ ?
Ancora grazie
In altre parole se ho $g=g_1 g_2, h= h_1 h_2$ allora $gh=(g_1 \phi_{g_2}(h_2))h_1 h_2$ ?
Ancora grazie
Credo che tu abbia colto l'idea ma provo a scriverlo in modo piu' preciso.
Gli elementi di $G$ e' facile pensarli come coppie ma e' spesso comodo pensarli come prodotto di un elemento di $N$ per uno di $H$. In effetti $G = N \rtimes H$ ha due sottogruppi $N' = \{ (n,1_H) \}$ e $H' = \{(1_N, h)\}$ che sono isomorfi a $N$ e ad $H$ rispettivamente.
Se $g = (n,h)$ allora $g = (n,1_H) (1_N,h) \in N' H'$ (e questa scrittura e' unica). Identificando $N$ con $N'$ e $H$ con $H'$ possiamo scrivere ogni elemento $g \in G$ come $g = nh$ in modo unico, dove il prodotto di un elemento di $N$ per uno di $H$ e' un abuso di notazione per dire "vai a prendere le coppie corrispondenti e fai il prodotto tra le coppie con la definizione di prodotto semidiretto".
Ci sono un paio di osservazioni facili da fare, che sono utili. Se $h \in H$ e $n \in N$ allora
$$h n h^{-1} = (1,h)(n,1)(1,h^{-1}) = (\phi_h(n),h)(1,h^{-1}) = (\phi_h(n),1)$$
e quindi il coniugio di $H$ su $N$ in $G$ realizza proprio l'azione di $H$ su $N$. In particolare questo dimostra che $N$ e' normale in $G$.
Con questo in mente, se $g_1 = n_1h_1$ e $g_2 = n_2 h_2$ allora
$$g_1 g_2 = n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}h_1h_2 = n_1 \phi_{h_1}(n_2) h_1h_2.$$
Gli elementi di $G$ e' facile pensarli come coppie ma e' spesso comodo pensarli come prodotto di un elemento di $N$ per uno di $H$. In effetti $G = N \rtimes H$ ha due sottogruppi $N' = \{ (n,1_H) \}$ e $H' = \{(1_N, h)\}$ che sono isomorfi a $N$ e ad $H$ rispettivamente.
Se $g = (n,h)$ allora $g = (n,1_H) (1_N,h) \in N' H'$ (e questa scrittura e' unica). Identificando $N$ con $N'$ e $H$ con $H'$ possiamo scrivere ogni elemento $g \in G$ come $g = nh$ in modo unico, dove il prodotto di un elemento di $N$ per uno di $H$ e' un abuso di notazione per dire "vai a prendere le coppie corrispondenti e fai il prodotto tra le coppie con la definizione di prodotto semidiretto".
Ci sono un paio di osservazioni facili da fare, che sono utili. Se $h \in H$ e $n \in N$ allora
$$h n h^{-1} = (1,h)(n,1)(1,h^{-1}) = (\phi_h(n),h)(1,h^{-1}) = (\phi_h(n),1)$$
e quindi il coniugio di $H$ su $N$ in $G$ realizza proprio l'azione di $H$ su $N$. In particolare questo dimostra che $N$ e' normale in $G$.
Con questo in mente, se $g_1 = n_1h_1$ e $g_2 = n_2 h_2$ allora
$$g_1 g_2 = n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}h_1h_2 = n_1 \phi_{h_1}(n_2) h_1h_2.$$
Perfetto, ho capito ti ringrazio.
Allora, se posso spingermi oltre, è vero che:
se $G = N \rtimes H$, allora $N \subset N_G(H)$ ?
Nel caso in cui $N \nn H = 1$ allora vale anche il viceversa?
EDIT: per caso $N$ è anche caratteristico in $G$?
Allora, se posso spingermi oltre, è vero che:
se $G = N \rtimes H$, allora $N \subset N_G(H)$ ?
Nel caso in cui $N \nn H = 1$ allora vale anche il viceversa?
EDIT: per caso $N$ è anche caratteristico in $G$?
Vale sempre che \(N \cap H = 1\)
Inoltre, $N$ e' normale in $G$ quindi e' contenuto in ogni normalizzante.
$H$ e' normale solo nel caso in cui l'azione e' banale. Prova a fare il conto $n^{-1} h n$ per dimostrarlo. In effetti in quel caso $N$ addirittura centralizza $H$.
Direi che $N$ non e' caratteristico in generale. Non lo e' neanche nel caso del prodotto diretto.
Inoltre, $N$ e' normale in $G$ quindi e' contenuto in ogni normalizzante.
$H$ e' normale solo nel caso in cui l'azione e' banale. Prova a fare il conto $n^{-1} h n$ per dimostrarlo. In effetti in quel caso $N$ addirittura centralizza $H$.
Direi che $N$ non e' caratteristico in generale. Non lo e' neanche nel caso del prodotto diretto.
"Pappappero":
Direi che $N$ non e' caratteristico in generale. Non lo e' neanche nel caso del prodotto diretto.
Hai ragione, mi ero confuso. Sto affrontando la p-nilpotenza ed ho mischiato un po' di cose.
Ricordo che un gruppo $G$ è p-nilpotente se, dato $P \in Syl_p(G)$ un p-silow, esiste un sottogruppo normale $N$ di $G$ (detto p-complemento) tale che: $G= N \rtimes P$.
In questo caso, dato che gli elementi di $N$ hanno tutti ordine diverso da $p$ e dato che automorfismi di $G$ mandano p-elementi in p-elementi, allora $N$ è caratteristico in $G$, giusto?
(perché un automorfismo non può mandare un elemento di ordine $p'$ in un elemento di ordine $p$ e dunque l'immagine di ogni elemento di $N$ è ancora un elemento di $N$ )
Grazie!
È vero che N in quel caso è caratteristico ma non capisco la tua dimostrazione. Come dimostri che N contiene tutti gli elementi di ordine non divisibile per p (e non "diverso da p" come dici tu, occhio)?
Probabilmente è perché non ho capito benissimo. Riprovo a riformulare il mio ragionamento.
Siano $\pi(G)$ tutti i primi che dividono l'ordine di $G$. Allora $p \in \pi(G)$ e ogni elemento di $N$ ha grado non divisibile per $p$ (altrimenti $N$ non sarebbe un p-complemento)*. Un automorfismo $\phi \in Aut(G)$ manda quindi un elemento di $N$ (che non ha ordine non divisibile per $p$) in un elemento di $G$: $\phi (n) \in G$. Dato che $\phi^k(n) = \phi(n^k)$, non può essere che $\phi(n)$ abbia ordine divisibile per $p$, altrimenti anche $n$ lo avrebbe.
Che ne dite?
nota*: supponiamo esista $x \in N$ tale che $x^p=1$, allora il gruppo ciclico generato da $x$ deve essere contenuto in un p-sylow (per il teorema di Sylow), dunque in un coniugato di $P$, ovvero $ \in P^g, g \in G$... no ok così non mi viene, però posso notare che $|G/N| = |P|=p^n, \n \in \NN$ e quindi $MCD(|N|, p) = 1$(dato che $P$ è un p-sylow), dunque $ < N$ non può avere ordine divisibile per $p$.. altrimenti anche l'ordine di $N$ lo avrebbe.
Meglio?
Siano $\pi(G)$ tutti i primi che dividono l'ordine di $G$. Allora $p \in \pi(G)$ e ogni elemento di $N$ ha grado non divisibile per $p$ (altrimenti $N$ non sarebbe un p-complemento)*. Un automorfismo $\phi \in Aut(G)$ manda quindi un elemento di $N$ (che non ha ordine non divisibile per $p$) in un elemento di $G$: $\phi (n) \in G$. Dato che $\phi^k(n) = \phi(n^k)$, non può essere che $\phi(n)$ abbia ordine divisibile per $p$, altrimenti anche $n$ lo avrebbe.
Che ne dite?
nota*: supponiamo esista $x \in N$ tale che $x^p=1$, allora il gruppo ciclico generato da $x$ deve essere contenuto in un p-sylow (per il teorema di Sylow), dunque in un coniugato di $P$, ovvero $
Meglio?
Non discuto sul fatto che gli automorfismi conservano gli ordini degli elementi, ma non hai dimostrato che $N$ contiene tutti gli elementi di ordine non divisibile per $p$. Per farlo puoi prendere un elemento $g$ di ordine non divisibile per $p$ e osservare che [tex]N \langle g \rangle[/tex] è un sottogruppo di $G$ che ha ordine non divisibile per $p$ e contiene $N$ quindi è uguale a $N$ (perché $N$ ha indice una potenza di $p$), da cui $g in N$.
"Martino":
Non discuto sul fatto che gli automorfismi conservano gli ordini degli elementi, ma non hai dimostrato che $N$ contiene tutti gli elementi di ordine non divisibile per $p$. Per farlo puoi prendere un elemento $g$ di ordine non divisibile per $p$ e osservare che [tex]N \langle g \rangle[/tex] è un sottogruppo di $G$ che ha ordine non divisibile per $p$ e contiene $N$ quindi è uguale a $N$ (perché $N$ ha indice una potenza di $p$), da cui $g in N$.
Capisco, nella nota avevo scritto questo:
"iDesmond":
nota*: supponiamo esista $x \in N$ tale che $x^p=1$, posso notare che $|G/N| = |P|=p^n, \n \in \NN$ e quindi $MCD(|N|, p) = 1$(dato che $P$ è un p-sylow), dunque $< N$ non può avere ordine divisibile per $p$.. altrimenti anche l'ordine di $N$ lo avrebbe.
Non è corretto? E' chiaro che in $P$ ci stanno solo elementi di ordine multiplo di $p$. Se dimostro che ci stanno tutti e soli, automaticamente tutti gli elementi di ordine non divisibile per $p$ devono stare in $N$.... certo è vero che la tua dimostrazione è molto più raffinata della mia
Però non capisco perché [tex]N \langle g \rangle[/tex] ha ordine non divisibile per $p$. Che cosa intendi con [tex]N \langle g \rangle[/tex] ?
"iDesmond":Vero.
E' chiaro che in $P$ ci stanno solo elementi di ordine multiplo di $p$.
Se dimostro che ci stanno tutti e soliNon ci possono essere tutti e soli, perché se $q$ è un primo che divide $|N|$ e $g$ è un elemento di $G$ di ordine $pq$ allora $g$ non appartiene né a $P$ né a $N$.
automaticamente tutti gli elementi di ordine non divisibile per $p$ devono stare in $N$Mi sembra che confondi "divisibile per $p$" con "potenza di $p$.
Però non capisco perché [tex]N \langle g \rangle[/tex] ha ordine non divisibile per $p$. Che cosa intendi con [tex]N \langle g \rangle[/tex] ?Se $H$ è un sottogruppo qualsiasi di $G$ e $N$ è normale in $G$ allora $NH = \{nh\ :\ n \in N,\ h \in H\}$ è un sottogruppo di $G$ e $|NH|=|N||H|/|N cap H|$. Ho applicato questo a [tex]H = \langle g \rangle[/tex].
Mi sembra che stai ragionando come se fosse $P cup N = G$, occhio perché non è così.
Perfetto, sì avevo confuso. Ti ringrazio
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