Prodotto semidiretto
Sia G un gruppo finito, H sottogruppo normale di G, K sottogruppo di G. E' sempre vero che [tex]H \rtimes K[/tex] (quando questo è sottogruppo) è normale in G? (con [tex]\rtimes[/tex] intendo il prodotto semidiretto di $H$ con $K$).
Se no, è sempre vero che, dato un gruppo J di ordine 231, e dati il suo 7-Sylow e un suo 3-Sylow, il gruppo formato dal prodotto semidiretto dei due Sylow scelti è normale in J?
Soprattutto, sapete dirmi se facendo così si stravolge la struttura iniziale?
Se no, è sempre vero che, dato un gruppo J di ordine 231, e dati il suo 7-Sylow e un suo 3-Sylow, il gruppo formato dal prodotto semidiretto dei due Sylow scelti è normale in J?
Soprattutto, sapete dirmi se facendo così si stravolge la struttura iniziale?
Risposte
Ciao.
"doppio":No, non e' sempre vero.
Sia G un gruppo finito, H sottogruppo normale di G, K sottogruppo di G. E' sempre vero che [tex]H \rtimes K[/tex] (quando questo è sottogruppo) è normale in G? (con [tex]\rtimes[/tex] intendo il prodotto semidiretto di $H$ con $K$).
Se no, è sempre vero che, dato un gruppo J di ordine 231, e dati il suo 7-Sylow e un suo 3-Sylow, il gruppo formato dal prodotto semidiretto dei due Sylow scelti è normale in J?Questo e' vero. Chiama N il 7-Sylow, e K un 3-Sylow. Il prodotto NK ha indice 11 in J, quindi se non e' normale ha 11 coniugati. Ora prova a contare i coniugati di NK scrivendo [tex](NK)^g = N^gK^g = NK^g[/tex].
Soprattutto, sapete dirmi se facendo così si stravolge la struttura iniziale?Non capisco questa domanda.
La domanda precisa era: prendendo due sottogruppi e facendone il prodotto semidiretto, il gruppo ottenuto è sempre sottogruppo del gruppo di partenza? Mi pareva di potere in questo modo ottenere sottogruppi di ordine che non divide l'ordine del gruppo di partenza...
"doppio":Ci credo. Credo che tu abbia fatto un prodotto semidiretto esterno.
La domanda precisa era: prendendo due sottogruppi e facendone il prodotto semidiretto, il gruppo ottenuto è sempre sottogruppo del gruppo di partenza? Mi pareva di potere in questo modo ottenere sottogruppi di ordine che non divide l'ordine del gruppo di partenza...
Probabilmente hai un po' di confusione su cosa vuol dire "prodotto semidiretto". Il prodotto semidiretto interno di due sottogruppi (di questo stiamo parlando) e' sensato solo se tali due sottogruppi hanno intersezione banale. In tal caso il loro prodotto dentro al gruppo grande e' un loro prodotto semidiretto.
Ok, ora mi è chiaro il mio errore. Grazie!
Per concludere dovrei dunque dire che i coniugati di [tex]K[/tex] sono al più 7, e dunque i coniugati di [tex]NK[/tex] sono al più 7. Ma per il ragionamento di prima, se [tex]NK[/tex] non è normale, i coniugati di [tex]NK[/tex] sono 11. L'unica possibilità è dunque che [tex]NK[/tex] sia normale. Però, non posso dedurre che [tex]K[/tex] sia normale. O sbaglio?
Per concludere dovrei dunque dire che i coniugati di [tex]K[/tex] sono al più 7, e dunque i coniugati di [tex]NK[/tex] sono al più 7. Ma per il ragionamento di prima, se [tex]NK[/tex] non è normale, i coniugati di [tex]NK[/tex] sono 11. L'unica possibilità è dunque che [tex]NK[/tex] sia normale. Però, non posso dedurre che [tex]K[/tex] sia normale. O sbaglio?
"doppio":Non sbagli.
Per concludere dovrei dunque dire che i coniugati di [tex]K[/tex] sono al più 7, e dunque i coniugati di [tex]NK[/tex] sono al più 7. Ma per il ragionamento di prima, se [tex]NK[/tex] non è normale, i coniugati di [tex]NK[/tex] sono 11. L'unica possibilità è dunque che [tex]NK[/tex] sia normale. Però, non posso dedurre che [tex]K[/tex] sia normale. O sbaglio?
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