Prodotto semi-diretto

[squalllionheart]

Salve rega ho un esercizio corregetemi e illuminatemi in alcuni punti che mi sono oscuri.
Siano $G_21$ , $G_20 $ $ZZ_25$. I primi due gruppi sono generici gruppi di ordine rispettivamente 21 e 20.
1) Trovare tutti i morfismi tra $G_21$ e $G_20$.
Allora per definire un morfismo tra $G_21$ , $G_20 $ gli elementi del dominio devono andare in elementi che dividono l'ordine di $G_21$ , nel nostro caso quindi abbiamo solo il morfismo banale.

2)Dimostrare che il prodotto semidiretto tra $G_21$ e $ZZ_25$ e un prodotto diretto.
Allora
sia $phi$ il morfismo che definisce il prodotto semidiretto da $G_21$ a $Aut(ZZ_25)$.
Sappiamo che $|Aut(ZZ_25)|=20$ quindi ritorniamo nel nostro $G_20$ di partenza l'unico morfismo tra $G_21$ e $G_20$ e quello banale, quindi ...
Mi manca qualcosa per chiudere...

[rubik2]

il prodotto diretto di $H,G$ è il prodotto cartesiano dotato della moltiplicazione componente per componente
il prodotto semidiretto di $H,G$ è il prodotto cartesiano dotato dell'operazione definita così:

fissata $Phi:H->Aut(G):h->gamma_h$

il prodotto in $GxxH$ è $(g,h)*(g',h')->(g*gamma_h(g'),h*h')$

nel tuo caso $gamma_h-=Id_G => gamma_h(g')=g'$ e $(g,h)*(g',h')->(g*g',h*h')$ che corrisponde alla moltiplicazione componente per componente quindi ottieni il prodotto diretto.

spero di essere stato chiaro, ciao

[squalllionheart]

perfetto. ora lo vedo.Ma tu hai sempre una risposta a tutto ? Grazie