Prodotto in $RR^2$

[hamming_burst]

Salve,
vorrei chiedere un chiarimento.

Ho trovato questa definizione di prodotto in $RR^2$ che non capisco da dove esce, o almeno mi manca un passaggio.

Consideriamo $RR^2 = {(a,b)|a,b in RR}$

operazione di prodotto: $(a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc)\ AA(a,b),(c,d) in RR^2$

perchè $ac-bd$?

centrano i vettori? o cosa?


Ringrazio

[Lemniscata1]

Credo che c'entri l'identificazione tra i complessi e le coppie di reali... quel prodotto, in tale identificazione, ricorda l'usuale prodotto tra numeri complessi, mi pare.

[j18eos]

Esatto Lemniscata, questo è l'unico prodotto in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] commutativo (se non mi sbaglio), così da renderlo un'algebra (se non mi sbaglio, e sò 2); poi cose del genere si possono fare solo in [tex]$\mathbb{R}^4;\mathbb{R}^8;\mathbb{R}^{16}$[/tex] (solo su quest'ultimo ho il dubbio, e sò 3) e basta!

[Richard_Dedekind]

J18eos ha ragione: \((\mathbb{R}^2,+,\cdot)\) con la somma puntuale ed il prodotto sopra definito è un anello commutativo e in più si ha che \(\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}\).

[hamming_burst]

Vi ringrazio.
Perciò questo prodotto è definito così perchè mantiene la commutatività di $RR$ estendendolo in coppie reali (cioè mantiene la commutatività in $CC$). giusto?


@j18eos: interessante il fatto che hai detto mi hai aperto alcune curiosità

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Cf. il teorema di Frobenius e il teorema di Hurwitz. Anch'io mi ricordo che da qualche parte saltava fuori il 16, ma non ricordo dove

[Deckard1]

"http://rjlipton.wordpress.com/2011/04/13/even-great-mathematicians-guess-wrong/":quy2o39p:The real numbers are the dependable breadwinner of the family, the complete ordered field we all rely on. The complex numbers are a slightly flashier but still respectable younger brother: not ordered, but algebraically complete. The quaternions, being noncommutative, are the eccentric cousin who is shunned at important family gatherings. But the octonions are the crazy old uncle nobody lets out of the attic: they are nonassociative.

...non so quanto il prodotto in $RR^16$ possa essere interessante...

EDIT: ops (a quanto pare solo solo con 2, 4, 8 si può definire un'algebra con norma e divisione)

[j18eos]

Ho dato delle indicazioni più o meno esatte!

OUT OF SELF TO...

Deckard A parte che hai una firma fighissima poi dovendo giocare con 16 oggetti penso che le cose siano abbastanza interessanti!

Richard_Dedekind Per cortesia la "j" sia minuscola e non maiuscola.