Prodotto diretto di algebre

[perplesso1]

Un simpatico esercizio da "Universal Algebra" di Burris e Sankappanavar:

Find two algebras $A_1$ e $A_2$ such that neither can be embedded in $A_1 xx A_2$

Mi viene subito da escludere gruppi,anelli etc insomma tutte le algebre "normali". Penso che il nocciolo della questione stia nel fatto che ne $A_1$ ne $A_2$ devono possedere una sottoalgebra "triviale" altrimenti l'embedding risulta immediato. Non riesco a pensare a nulla di abbastanza strano, mi suggerite qualcosa? Grazie!

[perplesso1]

Trovato. Consideriamo le algebre $(ZZ, id_{ZZ})$ e $(ZZ, S)$ dove $id_ZZ$ è l'applicazione identica considerata come operazione unaria e $S(x) = x+1$ è la funzione successore anch'essa considerta come operazione unaria. Sia $(ZZ^2, id_{ZZ} xx f)$ il prodotto diretto con l'operazione definita componente per componente $(id_{ZZ} xx S )(n,m) = (n,m+1)$. Supponiamo esista un omomorfismo $h: (ZZ, id_{ZZ}) -> (ZZ^2, id_{ZZ} xx S)$ allora per ogni $n \in ZZ$ deve risultare $h(n) = h(id_{ZZ}(n)) = (id_{ZZ} xx S )(h(n))$ assurdo perchè per ogni coppia di interi si ha $(a,b) \ne (a,b+1) = (id_{ZZ} xx S )(a,b)$