Prodotto di una funzione per se stessa
sia f: Z->Z la funzione tale che per x appartenente a Z sia $f(x)=2^(-x)$ se $x<=0$; $f(x)=3x-3$ se x > 0
a) Calcolare se è iniettiva.
Se in ciascuno dei due casi sostituisco a y un qualsiasi valore ottengo uno e un solo valore di x, quindi mi pare che sia
iniettiva
b) calcolare se è suriettiva. Nel caso in cui x > 0, in Z non è sempre possibile che sostituendo a y un qualsiasi valore ottengo un risultato x€Z, quindi non è suriettiva per i valori > 0, ergo la funzione non è suriettiva in generale
c) calcolare $f*f$.
Ecco, qui ho dei problemi.
Dovrebbe essere $x = 2^(-x)$ se $x<=0$. Poi devo procedere sostituendo a x $2^(-x)$, giusto? Cioè da qui se per certi valori $2^(-x)$ è minore o uguale a zero ottengo $2^(2^(-x))$, mentre se $2^(-x)$ è maggiore di 0 ottengo $3*2^(-x)-3$
E se invece all'inizio avevo x>0 ottengo: se 3x-3 è minore o uguale a zero 2^(3x-3), mentre se 3x-3 è maggiore di zero ottento 3(3x-3)-3.
Corretto?
Da qui dovrei però poi determinare i singoli valori di x per cui mi si presenti uno di questi quattro casi finali piuttosto che un altro.
potete darmi una mano?
a) Calcolare se è iniettiva.
Se in ciascuno dei due casi sostituisco a y un qualsiasi valore ottengo uno e un solo valore di x, quindi mi pare che sia
iniettiva
b) calcolare se è suriettiva. Nel caso in cui x > 0, in Z non è sempre possibile che sostituendo a y un qualsiasi valore ottengo un risultato x€Z, quindi non è suriettiva per i valori > 0, ergo la funzione non è suriettiva in generale
c) calcolare $f*f$.
Ecco, qui ho dei problemi.
Dovrebbe essere $x = 2^(-x)$ se $x<=0$. Poi devo procedere sostituendo a x $2^(-x)$, giusto? Cioè da qui se per certi valori $2^(-x)$ è minore o uguale a zero ottengo $2^(2^(-x))$, mentre se $2^(-x)$ è maggiore di 0 ottengo $3*2^(-x)-3$
E se invece all'inizio avevo x>0 ottengo: se 3x-3 è minore o uguale a zero 2^(3x-3), mentre se 3x-3 è maggiore di zero ottento 3(3x-3)-3.
Corretto?
Da qui dovrei però poi determinare i singoli valori di x per cui mi si presenti uno di questi quattro casi finali piuttosto che un altro.
potete darmi una mano?
Risposte
Partiamo dall'inizio...
La funzioe non è iniettiva come hai detto, ma una piccola dimostrazione devi farla. Prova a sfruttare il fatto che $3x -3$ è sempre un multiplo di 3, mentre $2^(-x)$...
La funzione è suriettiva ma per il motivo opposto al tuo, ovvero i valori negativi minori di $-3$ non vengono presi nè per $x leq 0$ in quanto $2^x$ è sempre positivo, nè per $x > 0$ in quanto $3x -3$ è $> -3$ per $x > 0$
Per $f^2$ studiati i casi $x leq 0$, $0 < x leq 3$ e $x > 3$ perchè è lì che ti cambia la funzione...
La funzioe non è iniettiva come hai detto, ma una piccola dimostrazione devi farla. Prova a sfruttare il fatto che $3x -3$ è sempre un multiplo di 3, mentre $2^(-x)$...
La funzione è suriettiva ma per il motivo opposto al tuo, ovvero i valori negativi minori di $-3$ non vengono presi nè per $x leq 0$ in quanto $2^x$ è sempre positivo, nè per $x > 0$ in quanto $3x -3$ è $> -3$ per $x > 0$
Per $f^2$ studiati i casi $x leq 0$, $0 < x leq 3$ e $x > 3$ perchè è lì che ti cambia la funzione...
non ho capito perchè $0 < x <= 3$ e $x > 3$
A me i 3 casi vengono:
$3(2^(-x))-3 x > 0$
$2^(-3x+3) x =1$
$3(3x-3)-3 x >1$
Ho sbagliato?
A me i 3 casi vengono:
$3(2^(-x))-3 x > 0$
$2^(-3x+3) x =1$
$3(3x-3)-3 x >1$
Ho sbagliato?
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