Prodotto di un elemento per il suo inverso
Buongiorno a tutti, per dimostrare che una data sommatoria è uguale ad un elemento, devo dimostrare che la sommatoria di (xf)^n meno la sommatoria di (xf)^n + 1, per ogni n positivo o uguale a 0, mi deve dare come risultato 1.
Ora, facendo bene i conti, mi risulta che venga fuori -1,allora vi chiedo, ho sbagliato io i calcoli, oppure è concettualmente possibile che un dato elemento per il suo inverso dia come risultato -1, rendendo comunque i due elementi uno l'inverso dell'altro, e quindi potendo scrivere 1 al posto di -1??
Grazie infinite se avrete voglia di rispondermi, ciaoo
Ora, facendo bene i conti, mi risulta che venga fuori -1,allora vi chiedo, ho sbagliato io i calcoli, oppure è concettualmente possibile che un dato elemento per il suo inverso dia come risultato -1, rendendo comunque i due elementi uno l'inverso dell'altro, e quindi potendo scrivere 1 al posto di -1??
Grazie infinite se avrete voglia di rispondermi, ciaoo
Risposte
Per ogni reale \(\alpha\), hai che \(\alpha - (\alpha+1) = -1\). Quindi è evidente che se \(\alpha\) è il limite (finito) della tua sommatoria, allora devi aspettarti il risultato \(-1\) e non \(1\).
"vict85":
Per ogni reale \(\alpha\), hai che \(\alpha - (\alpha+1) = -1\). Quindi è evidente che se \(\alpha\) è il limite (finito) della tua sommatoria, allora devi aspettarti il risultato \(-1\) e non \(1\).
Ciao ,si ma nel libro compare 1,ma quindi se anche mi desse -1 il prodotto, allora posso considerarli lo stesso uno l'inverso dell'altro ?Per questo scrivono 1? Ah non ho detto che f appartiene all'anello delle serie formali nell'indeterminata x a coefficienti in F, forse questo può cambiare le carte in tavola
Non mi è molto chiara la tua notazione, potresti riscrivere usando latex?
Se ho capito bene stai cercando di dimostrare la formula dell'inverso di un elemento di una serie formale. Giusto?
Se ho capito bene stai cercando di dimostrare la formula dell'inverso di un elemento di una serie formale. Giusto?
caspita,non sono pratico di latex, ma mi aggiornerò, provo a scriverla meglio. La formula è:
Sommatoria di (xf)^(n) - sommatoria di (xf)^(n + 1) in cui la sommatorie partono da un n maggiore o uguale a 0 e non terminano ,nel senso che è specificato che la serie (xf)^n ha i primi n coefficienti uguali a 0,e quindi per ogni i maggiore o uguale a 0,il coefficiente di x^i negli addendi (xf)^n è 0 per ogni n maggiore di i, e per questo la scrittura avrebbe senso.
Il risultato di tutto questo dovrebbe essere 1,ma a me appunto mi risulta -1
Perdonami la complessità, se non riesci ancora a capire pazienza, me ne farò una ragione e darò per vero il risultato. Grazie mille comunque per la disponibilità
Sommatoria di (xf)^(n) - sommatoria di (xf)^(n + 1) in cui la sommatorie partono da un n maggiore o uguale a 0 e non terminano ,nel senso che è specificato che la serie (xf)^n ha i primi n coefficienti uguali a 0,e quindi per ogni i maggiore o uguale a 0,il coefficiente di x^i negli addendi (xf)^n è 0 per ogni n maggiore di i, e per questo la scrittura avrebbe senso.
Il risultato di tutto questo dovrebbe essere 1,ma a me appunto mi risulta -1
Perdonami la complessità, se non riesci ancora a capire pazienza, me ne farò una ragione e darò per vero il risultato. Grazie mille comunque per la disponibilità
[xdom="vict85"]Le [formule][/formule] risultano abbastanza semplici, specialmente se usi il sistema semplificato. Io personalmente preferisco usare latex perché ho più controllo. Tra l'altro impararle è anche previsto dal [regolamento]3_7[/regolamento]. Insomma l'onere di essere chiaro spetta a te.[/xdom]
Quello che non capisco di ciò che scrivi è cosa sia \(xf\). È il prodotto dell'incognita \(X\) di \(\mathbb{F}[[X]]\) con un elemento \(f\in \mathbb{F}[[X]]\)? Oppure con \(f\) intendi il coefficiente \(f_n\) della serie formale?
Insomma secondo me dovresti partire dal principio.
Quello che non capisco di ciò che scrivi è cosa sia \(xf\). È il prodotto dell'incognita \(X\) di \(\mathbb{F}[[X]]\) con un elemento \(f\in \mathbb{F}[[X]]\)? Oppure con \(f\) intendi il coefficiente \(f_n\) della serie formale?
Insomma secondo me dovresti partire dal principio.
"vict85":
[xdom="vict85"]Le [formule][/formule] risultano abbastanza semplici, specialmente se usi il sistema semplificato. Io personalmente preferisco usare latex perché ho più controllo. Tra l'altro impararle è anche previsto dal [regolamento]3_7[/regolamento]. Insomma l'onere di essere chiaro spetta a te.[/xdom]
Quello che non capisco di ciò che scrivi è cosa sia \(xf\). È il prodotto dell'incognita \(X\) di \(\mathbb{F}[[X]]\) con un elemento \(f\in \mathbb{F}[[X]]\)? Oppure con \(f\) intendi il coefficiente \(f_n\) della serie formale?
Insomma secondo me dovresti partire dal principio.
f è un elemento invertibile nell'anello F[[x]] tale che f = f(x) =sommatoria di (a)(x^n) con a indicato con indice n e per n maggiore o uguale a 0
"mb7":
[quote="vict85"][xdom="vict85"]Le [formule][/formule] risultano abbastanza semplici, specialmente se usi il sistema semplificato. Io personalmente preferisco usare latex perché ho più controllo. Tra l'altro impararle è anche previsto dal [regolamento]3_7[/regolamento]. Insomma l'onere di essere chiaro spetta a te.[/xdom]
Quello che non capisco di ciò che scrivi è cosa sia \(xf\). È il prodotto dell'incognita \(X\) di \(\mathbb{F}[[X]]\) con un elemento \(f\in \mathbb{F}[[X]]\)? Oppure con \(f\) intendi il coefficiente \(f_n\) della serie formale?
Insomma secondo me dovresti partire dal principio.
f è un elemento invertibile nell'anello F[[x]] tale che f = f(x) =sommatoria di (a)(x^n) con a indicato con indice n e per n maggiore o uguale a 0[/quote]
e xf è appunto il prodotto di tale f per x
se qualcuno ha voglia di rispondermi,perchè qua famo notte
L'inserimento delle formule usando Latex oppure il metodo semplificato sarebbe obbligatorio (ref. [regolamento]3_7[/regolamento]).
Scrivere \(f(x)\) non è difficile: con il metodo semplificato è così:
$f = sum_(n >= 0) a_n x^n$
mentre con Latex è così
\(f = \sum_{n\ge 0} a_n x^n\)
Venendo al tuo problema, stai cercando di calcolare: \(\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1}\)?
Poniamo \(g = \sum_{n\ge 0} x^n\). È facile verificare che \(g - xg = 1\). A questo punto basta fare così:
\begin{align*}\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1} &= \sum_{n\ge 0} (xf)^n - (xf)\sum_{n\ge 0} (xf)^{n} \\ &= (g - xg) \circ xf \\ &= 1 \circ xf \\ &= 1\end{align*}
Nota che \(xf(0) = 0\) e che quindi la composizione è ben definita.
(ref. [regolamento]3_7[/regolamento]).Scrivere \(f(x)\) non è difficile: con il metodo semplificato è così:
$f = sum_(n >= 0) a_n x^n$
$f = sum_(n >= 0) a_n x^n$
mentre con Latex è così
\(f = \sum_{n\ge 0} a_n x^n\)\(f = \sum_{n\ge 0} a_n x^n\)
Venendo al tuo problema, stai cercando di calcolare: \(\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1}\)?
Poniamo \(g = \sum_{n\ge 0} x^n\). È facile verificare che \(g - xg = 1\). A questo punto basta fare così:
\begin{align*}\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1} &= \sum_{n\ge 0} (xf)^n - (xf)\sum_{n\ge 0} (xf)^{n} \\ &= (g - xg) \circ xf \\ &= 1 \circ xf \\ &= 1\end{align*}
Nota che \(xf(0) = 0\) e che quindi la composizione è ben definita.
"vict85":
L'inserimento delle formule usando Latex oppure il metodo semplificato sarebbe obbligatorio
Scrivere \(f(x)\) non è difficile: con il metodo semplificato è così:$f = sum_(n >= 0) a_n x^n$
$f = sum_(n >= 0) a_n x^n$
mentre con Latex è così\(f = \sum_{n\ge 0} a_n x^n\)
\(f = \sum_{n\ge 0} a_n x^n\)
Venendo al tuo problema, stai cercando di calcolare: \(\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1}\)?
Poniamo \(g = \sum_{n\ge 0} x^n\). È facile verificare che \(g - xg = 1\). A questo punto basta fare così:
\begin{align*}\sum_{n\ge 0} (xf)^n - \sum_{n\ge 0} (xf)^{n+1} &= \sum_{n\ge 0} (xf)^n - (xf)\sum_{n\ge 0} (xf)^{n} \\ &= (g - xg) \circ xf \\ &= 1 \circ xf \\ &= 1\end{align*}
Nota che \(xf(0) = 0\) e che quindi la composizione è ben definita.
ciao ,intanto grazie mille,perdonami ma allora mi sa che ho seri problemi con la matematica elementare.Non capisco proprio come (g - xg) possa valere 1,e pure il resto : non capisco nemmeno perchè la differenza tra quelle due sommatorie che hai scritto dia come risultato la composizione di quei due termini
e 1 composto xf non dovrebbe valere xf ?? Sono senza speranze...
\(g-xg = \sum x^n - \sum x^{n+1} = (1+x+x^2+\dots)-(x+x^2+\dots)\)...
"solaàl":
\(g-xg = \sum x^n - \sum x^{n+1} = (1+x+x^2+\dots)-(x+x^2+\dots)\)...
ciao,ma a me risulta che venga fuori 1 - x^(n + 1) infatti
"mb7":
[quote="solaàl"]\(g-xg = \sum x^n - \sum x^{n+1} = (1+x+x^2+\dots)-(x+x^2+\dots)\)...
ciao,ma a me risulta che venga fuori 1 - x^(n + 1) infatti[/quote]
Come mai?
"ghira":
[quote="mb7"][quote="solaàl"]\(g-xg = \sum x^n - \sum x^{n+1} = (1+x+x^2+\dots)-(x+x^2+\dots)\)...
ciao,ma a me risulta che venga fuori 1 - x^(n + 1) infatti[/quote]
Come mai?[/quote]
ciao,scusa,banalmente,avendo la seconda sommatoria un (n + 1)esimo termine da sottrarre,di conseguenza,ti rimane 1 meno tale termine che non si trova nella prima sommatoria..Dove sbaglio??
"mb7":
ciao,scusa,banalmente,avendo la seconda sommatoria un (n + 1)esimo termine da sottrarre,di conseguenza,ti rimane 1 meno tale termine che non si trova nella prima sommatoria..Dove sbaglio??
Entrambe le sommatorie hanno infiniti termini.
Il tuo problema è che vedi una serie formale come una sorta di limite dei polinomi, mentre è più utile vederli come funzioni \(f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{F}\). La somma è fatta per elementi, ovvero \((f + g)\colon n \mapsto f(n) + g(n)\). La moltiplicazione è definita come \((fg)\colon n \mapsto \sum_{i + j = n} f(i)g(j)\). La moltiplicazione per un reale è anch'essa definita per elementi: \(\alpha f \colon n \mapsto \alpha f(n)\).
Il punto è che \(g\colon n \mapsto 1\) mentre \(\displaystyle xg\colon n \mapsto \begin{cases} 0 & \text{per } n = 0 \\ 1 & \text{altrimenti} \end{cases}\). Risulta quindi abbastanza immediato verificare che \(\displaystyle (g - xg)\colon n \mapsto \begin{cases} 1 & \text{per } n = 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \)
Il punto è che \(g\colon n \mapsto 1\) mentre \(\displaystyle xg\colon n \mapsto \begin{cases} 0 & \text{per } n = 0 \\ 1 & \text{altrimenti} \end{cases}\). Risulta quindi abbastanza immediato verificare che \(\displaystyle (g - xg)\colon n \mapsto \begin{cases} 1 & \text{per } n = 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \)
"vict85":
Il tuo problema è che vedi una serie formale come una sorta di limite dei polinomi, mentre è più utile vederli come funzioni \(f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{F}\). La somma è fatta per elementi, ovvero \((f + g)\colon n \mapsto f(n) + g(n)\). La moltiplicazione è definita come \((fg)\colon n \mapsto \sum_{i + j = n} f(i)g(j)\). La moltiplicazione per un reale è anch'essa definita per elementi: \(\alpha f \colon n \mapsto \alpha f(n)\).
Il punto è che \(g\colon n \mapsto 1\) mentre \(\displaystyle xg\colon n \mapsto \begin{cases} 0 & \text{per } n = 0 \\ 1 & \text{altrimenti} \end{cases}\). Risulta quindi abbastanza immediato verificare che \(\displaystyle (g - xg)\colon n \mapsto \begin{cases} 1 & \text{per } n = 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \)
ok grazie mille ragazzi:)),ultimissima cosa: quella F come codominio della funzione che hai rappresentato, indica un campo finito generico?
Perché finito? È un campo qualsiasi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo