Prodotto di trasposizioni elementari
Proposizione: ogni trasposizione può essere rappresentata mediante un prodotto di trasposizioni elementari.
Tale rappresentazione non è unica, ma ciascuna di esse è comunque costituita da un numero dispari di fattori.
Non riesco a farmi un esempio!!!
Mi date una mano per favore?
Tale rappresentazione non è unica, ma ciascuna di esse è comunque costituita da un numero dispari di fattori.
Non riesco a farmi un esempio!!!
Mi date una mano per favore?
Risposte
$(12)=(12)(23)(23)$ (in $S_n$, $n >=3$).
Più chiaro ora?
P.S. Uso la notazione della composizione di funzioni, quindi la precedente riga è da leggersi da destra verso sinistra.
Più chiaro ora?
P.S. Uso la notazione della composizione di funzioni, quindi la precedente riga è da leggersi da destra verso sinistra.
Vediamo se ho capito:
partendo dall'ultima trasposizione ho:
il 2 va in 3 ma, dalla trasposizione centrale, il 3 va in 2 e, dalla prima trasposizione, il 2 va in 1
dalla seconda trasposizione
il 3 va in 2 ma, dalla seconda, il 2 lo manda in 3
dalla prima trasposizione
l'1 va in 2
quindi ho $213 in S_3$
partendo dall'ultima trasposizione ho:
il 2 va in 3 ma, dalla trasposizione centrale, il 3 va in 2 e, dalla prima trasposizione, il 2 va in 1
dalla seconda trasposizione
il 3 va in 2 ma, dalla seconda, il 2 lo manda in 3
dalla prima trasposizione
l'1 va in 2
quindi ho $213 in S_3$
Riguardo al numero dispari lo puoi vedere così: la funzione segno è un omomorfismo con kernel il gruppo alternante.
Se non l'hai ancora fatto allora pensala in questo modo. Il gruppo simmetrico su $n$ elementi è isomorfo al gruppo delle permutazioni di una base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo (fondamentalmente ha una rappresentazione matriciale). Le trasposizioni elementari, se ho capito bene a quali si fa riferimento perché io non gli ho mai dato un nome, sono le trasformazioni ortogonali che scambiano due basi consecutive*.
Ora queste trasformazioni ortogonali hanno un determinante ed è semplice da verificare che è $-1$. Ora però anche una trasposizione qualsiasi ha il determinante uguale a $-1$ e quindi se esiste un prodotto di trasposizioni elementari che genera una trasposizione qualsiasi allora il prodotto è formato da un numero dispari di elementi per il teorema di Binet.
* Quel gruppo di riflessioni è isomorfo alle trasformazioni di un n-simplesso. Di fatto quel gruppo di riflessioni non è essenziale (fissa una retta) ma non importa. Il gruppo delle permutazioni su $n$ elementi con quell'insieme di generatori è un gruppo di Coxeter se ti interessa. E valgono cose molto più strane che queste...
Se non l'hai ancora fatto allora pensala in questo modo. Il gruppo simmetrico su $n$ elementi è isomorfo al gruppo delle permutazioni di una base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo (fondamentalmente ha una rappresentazione matriciale). Le trasposizioni elementari, se ho capito bene a quali si fa riferimento perché io non gli ho mai dato un nome, sono le trasformazioni ortogonali che scambiano due basi consecutive*.
Ora queste trasformazioni ortogonali hanno un determinante ed è semplice da verificare che è $-1$. Ora però anche una trasposizione qualsiasi ha il determinante uguale a $-1$ e quindi se esiste un prodotto di trasposizioni elementari che genera una trasposizione qualsiasi allora il prodotto è formato da un numero dispari di elementi per il teorema di Binet.
* Quel gruppo di riflessioni è isomorfo alle trasformazioni di un n-simplesso. Di fatto quel gruppo di riflessioni non è essenziale (fissa una retta) ma non importa. Il gruppo delle permutazioni su $n$ elementi con quell'insieme di generatori è un gruppo di Coxeter se ti interessa. E valgono cose molto più strane che queste...
Riguardo ad un esempio la trasposizione in \(\displaystyle (15) \in S_6 \) è uguale a \(\displaystyle (45)(34)(23)(12)(23)(34)(45) \), a \(\displaystyle (12)(23)(34)(45)(34)(23)(12) \) oppure anche \(\displaystyle (45)(34)(23)(34)(45)(12)(45)(34)(23)(34)(45) \)
EDIT avevo usato la permutazione \(\displaystyle (16) \) senza poterlo fare. Ho usato tutte rappresentazioni coniugate perché è più semplice.
EDIT avevo usato la permutazione \(\displaystyle (16) \) senza poterlo fare. Ho usato tutte rappresentazioni coniugate perché è più semplice.
Vict purtroppo non ho ancora le basi per capire al meglio quello che mi hai scritto, soprattutto la parte relativa agli spazi
vettoriali euclidei
Poi volevo chiederti, relativamente all'esempio del prodotto di trasposizioni elementari... come hai ottenuto gli esempi?
E' proprio questo che non riesco a capire...
vettoriali euclidei
Poi volevo chiederti, relativamente all'esempio del prodotto di trasposizioni elementari... come hai ottenuto gli esempi?
E' proprio questo che non riesco a capire...
"GundamRX91":
dalla seconda trasposizione
il 3 va in 2 ma, dalla seconda, il 2 lo manda in 3
No, qui c'è un errore: dalla prima traspozione (a destra!) il 3 va in 2, poi applichi la seconda e il 2 va in 3 che non viene spostato dalla prima. Dunque il 3 va in 3, cioè resta fisso.
In sostanza, il trucco che devi capire è questo: piglia una trasposizione $(ab)$. Chi è la sua inversa? Se rispondi a questo capisci tutto...
In particolare, capirai che quello che ho fatto io nel mio esempio è semplicemente scrivere $1000=1000+1-1$
Paolo l'inversa di $ab$ dovrebbe essere quella trasposizione che moltiplicata per $ab$ è uguale a $1$, cioè $ab*ab^-1=1$,
cioè quella trasposizione che mi determina la permutazione identica?
cioè quella trasposizione che mi determina la permutazione identica?
Ma non l'hai capito perché mi sono espresso male o perché non conosci la geometria analitica?
Ora supponendo sia il primo vedo di spiegarti il caso \(\displaystyle n=3 \). Anche se è meno interessante di altri.
Io posso associare \(\displaystyle 1\) a \(\displaystyle \mathbf{i} \), \(\displaystyle 2\) a \(\displaystyle \mathbf{j} \) e \(\displaystyle 3\) a \(\displaystyle \mathbf{k} \). Una permutazione \(\displaystyle \sigma \) di \(\displaystyle S_3 \) manderà quindi un vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) di \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \) nel vettore \(\displaystyle \sigma(\mathbf{v}) = x\sigma(\mathbf{i}) + y\sigma(\mathbf{j}) + z\sigma(\mathbf{k}) \). È evidentemente lineare (è un cambio di base).
Per esempio la trasposizione \(\displaystyle \sigma = (12) \) manda \(\displaystyle \mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) in \(\displaystyle \sigma(\mathbf{v}) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} \).
Le trasposizioni elementari sono \(\displaystyle (12) \) e \(\displaystyle (23) \) (in realtà le trasposizioni possono anche essere generate dalle trasposizioni \(\displaystyle (1i) \) per \(\displaystyle i \) che va da \(\displaystyle 2 \) a \(\displaystyle n \)).
Le loro matrici associate saranno quindi \(\displaystyle (12) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) e \(\displaystyle (23) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \)
La trasposizione \(\displaystyle (13) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0& 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\) è uguale a \(\displaystyle (12)(23)(12) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) e a \(\displaystyle (23)(12)(23) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \) ed esistono anche scritture con \(\displaystyle 5 \) elementi. In questo caso comunque ogni elemento di \(\displaystyle S_3 \) si può esprimere o come successione \(\displaystyle (12)(23)(12)... \) oppure come \(\displaystyle (23)(12)(23)... \) quindi le cose sono abbastanza semplici. Puoi generare velocemente qualsiasi elemento di \(\displaystyle S_3 \) semplicemente facendo qualche calcolo a mano. Per questo dicevo che è poco interessante (questa caratteristica è propria dei gruppi diedrali se scegli due particolari elementi che lo generano).
Riguardo alla dimostrazione della parità se fai il calcolo del determinante di ognuna di questa matrici trovi \(\displaystyle -1 \). E una potenza di \(\displaystyle -1 \) è negativa se e solo se è dispari.
Se non hai fatto algebra lineare o geometria analitica dello spazio ignora quello che ho scritto.
--------------------------
Come ho trovato quegli elementi? Beh, è complicato. Principalmente ho usato il fatto che gli omomorfismi dei gruppi simmetrici della forma \(\displaystyle \tau\sigma\tau^{-1} \) preservano la struttura ciclica e quindi in particolare mandano trasposizioni in trasposizioni. Vale inoltre la formula \(\displaystyle \tau(ij)\tau^{-1} = (\tau(i)\tau(j)) \) (vale più in generale ma te l'ho scritta solo per le trasposizioni per comodità.
Ora supponendo sia il primo vedo di spiegarti il caso \(\displaystyle n=3 \). Anche se è meno interessante di altri.
Io posso associare \(\displaystyle 1\) a \(\displaystyle \mathbf{i} \), \(\displaystyle 2\) a \(\displaystyle \mathbf{j} \) e \(\displaystyle 3\) a \(\displaystyle \mathbf{k} \). Una permutazione \(\displaystyle \sigma \) di \(\displaystyle S_3 \) manderà quindi un vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) di \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \) nel vettore \(\displaystyle \sigma(\mathbf{v}) = x\sigma(\mathbf{i}) + y\sigma(\mathbf{j}) + z\sigma(\mathbf{k}) \). È evidentemente lineare (è un cambio di base).
Per esempio la trasposizione \(\displaystyle \sigma = (12) \) manda \(\displaystyle \mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) in \(\displaystyle \sigma(\mathbf{v}) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} \).
Le trasposizioni elementari sono \(\displaystyle (12) \) e \(\displaystyle (23) \) (in realtà le trasposizioni possono anche essere generate dalle trasposizioni \(\displaystyle (1i) \) per \(\displaystyle i \) che va da \(\displaystyle 2 \) a \(\displaystyle n \)).
Le loro matrici associate saranno quindi \(\displaystyle (12) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) e \(\displaystyle (23) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \)
La trasposizione \(\displaystyle (13) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0& 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\) è uguale a \(\displaystyle (12)(23)(12) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) e a \(\displaystyle (23)(12)(23) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \) ed esistono anche scritture con \(\displaystyle 5 \) elementi. In questo caso comunque ogni elemento di \(\displaystyle S_3 \) si può esprimere o come successione \(\displaystyle (12)(23)(12)... \) oppure come \(\displaystyle (23)(12)(23)... \) quindi le cose sono abbastanza semplici. Puoi generare velocemente qualsiasi elemento di \(\displaystyle S_3 \) semplicemente facendo qualche calcolo a mano. Per questo dicevo che è poco interessante (questa caratteristica è propria dei gruppi diedrali se scegli due particolari elementi che lo generano).
Riguardo alla dimostrazione della parità se fai il calcolo del determinante di ognuna di questa matrici trovi \(\displaystyle -1 \). E una potenza di \(\displaystyle -1 \) è negativa se e solo se è dispari.
Se non hai fatto algebra lineare o geometria analitica dello spazio ignora quello che ho scritto.
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Come ho trovato quegli elementi? Beh, è complicato. Principalmente ho usato il fatto che gli omomorfismi dei gruppi simmetrici della forma \(\displaystyle \tau\sigma\tau^{-1} \) preservano la struttura ciclica e quindi in particolare mandano trasposizioni in trasposizioni. Vale inoltre la formula \(\displaystyle \tau(ij)\tau^{-1} = (\tau(i)\tau(j)) \) (vale più in generale ma te l'ho scritta solo per le trasposizioni per comodità.
"GundamRX91":
Paolo l'inversa di $ab$ dovrebbe essere quella trasposizione che moltiplicata per $ab$ è uguale a $1$, cioè $ab*ab^-1=1$,
cioè quella trasposizione che mi determina la permutazione identica?
Una trasposizione è inversa di se stessa.
\(\displaystyle (ab)(ab) = 1 \)
Infatti \(\displaystyle a\mapsto b\mapsto a \) e \(\displaystyle b\mapsto a\mapsto b \).
Vict scusami ma non ho ancora fatto ne geometria analitica ne algebra lineare, e tra l'altro, quando alla fine scrivi che trovare gli elementi è complicato, non mi rincuora affatto (segno che non ho capito molto di quanto ho studiato sul gruppo simmetrico).
Poi oggi ho provato a creare qualche trasposizione inversa e trovavo sempre la trasposizione stessa!!! Come del resto mi confermi nel tuo ultimo post
Però vorrei capire se concettualmente dire che l'inversa di una trasposizione $ab$ è la trasposizione $ab^-1$ tale che $ab*ab^-1=1$ è corretto ??
PS. grazie per la dettagliata spiegazione
Poi oggi ho provato a creare qualche trasposizione inversa e trovavo sempre la trasposizione stessa!!! Come del resto mi confermi nel tuo ultimo post
Però vorrei capire se concettualmente dire che l'inversa di una trasposizione $ab$ è la trasposizione $ab^-1$ tale che $ab*ab^-1=1$ è corretto ??
PS. grazie per la dettagliata spiegazione
È complicato da spiegare a qualcuno che non sapeva che un trasposizione è inversa di se stessa. Il procedimento in realtà è piuttosto meccanico.
Sono confuso... Ma che corso di studi fai? Perché a matematica Geometria lo si fa generalmente al primo anno mentre i gruppi spesso si fanno al secondo). Senza considerare che le matrici sono tra le più importanti classi di gruppi non abeliani insieme a gruppi simmetrici (quale sia il più importante immagino dipenda da a chi lo chiedi).
Metti le parentesi, è più chiaro. Comunque intuitivamente l'inverso di un ciclo \(\displaystyle (abcde...\psi\omega) \) è \(\displaystyle (\omega\psi...edcba) = (a\omega\psi...edcb) \). Mentre l'inverso di un prodotto dei cicli si calcola con la usuale formula dell'inverso di un prodotto. L'inverso tra l'altro in un gruppo è unico quindi se \(\displaystyle (ab)(ab) = 1 \) allora \(\displaystyle (ab)^{-1} = (ab) \).
Il \(\displaystyle \bullet^{-1} \) puoi tenerlo se ti va ma nei calcoli devi sapere che \(\displaystyle (ab)^{-1} = (ab) \).
Tra l'altro questa è una caratteristica di ogni elemento di un gruppo che ha ordine due. Infatti \(\displaystyle 1 = g^2 = gg \rightarrow g = g^{-1}\)
Sono confuso... Ma che corso di studi fai? Perché a matematica Geometria lo si fa generalmente al primo anno mentre i gruppi spesso si fanno al secondo). Senza considerare che le matrici sono tra le più importanti classi di gruppi non abeliani insieme a gruppi simmetrici (quale sia il più importante immagino dipenda da a chi lo chiedi).
Metti le parentesi, è più chiaro. Comunque intuitivamente l'inverso di un ciclo \(\displaystyle (abcde...\psi\omega) \) è \(\displaystyle (\omega\psi...edcba) = (a\omega\psi...edcb) \). Mentre l'inverso di un prodotto dei cicli si calcola con la usuale formula dell'inverso di un prodotto. L'inverso tra l'altro in un gruppo è unico quindi se \(\displaystyle (ab)(ab) = 1 \) allora \(\displaystyle (ab)^{-1} = (ab) \).
Il \(\displaystyle \bullet^{-1} \) puoi tenerlo se ti va ma nei calcoli devi sapere che \(\displaystyle (ab)^{-1} = (ab) \).
Tra l'altro questa è una caratteristica di ogni elemento di un gruppo che ha ordine due. Infatti \(\displaystyle 1 = g^2 = gg \rightarrow g = g^{-1}\)
Sono al secondo anno di matematica, ma lavoro a tempo pieno e questo mi impedisce di seguire le lezioni e tanto meno un piano di studio ben impostato. Il gruppo simmetrico l'ho sto studiando per l'esame di algebra in quanto è presente nella dispensa, solo che non essendoci esempi ed esercizi spesso mi trovo in difficoltà a capire le definizioni/dimostrazioni 
Ora che l'inversa di una trasposizione sia la trasposizione stessa mi è chiaro, in virtù anche delle prove che ho fatto e che pensavo fossero errate (all'inizio credevo di aver sbagliato qualcosa ritrovandomi sempre la trasposizione originale), mentre se è possibile vorrei capire invece com'è questo procedimento meccanico per ottenere una trasposizione come prodotto di trasposizioni elementari... scusami ma proprio non l'ho capito
Ora che l'inversa di una trasposizione sia la trasposizione stessa mi è chiaro, in virtù anche delle prove che ho fatto e che pensavo fossero errate (all'inizio credevo di aver sbagliato qualcosa ritrovandomi sempre la trasposizione originale), mentre se è possibile vorrei capire invece com'è questo procedimento meccanico per ottenere una trasposizione come prodotto di trasposizioni elementari... scusami ma proprio non l'ho capito
In generale se tu hai una trasposizione \(\displaystyle (ab) \) e vuoi produrre la trasposizione (cd) allora devi trovare una permutazione \sigma tale che \(\displaystyle \sigma(a) = c\) e \(\displaystyle \sigma(b) = d \).
Ora tu devi prendere una \(\displaystyle (ab) \) elementare ma qualsiasi e quindi puoi prendere \(\displaystyle (ab) = (c,c+1) \). In questo caso quindi \(\displaystyle \sigma \) deve fissare l'elemento \(\displaystyle c \)
Osservi che \(\displaystyle (23)(34)(45) = (5234) = (2345) \), in altre parole in generale vale che \(\displaystyle (a,a+1)(a+1,a+2)...(b,b+1) = (a,a+1,a+2,...,b,b+1) \). Inoltre è evidente che \(\displaystyle (2543) = (45)(34)(23) \). Se non lo è fatti i calcoli
...
Partendo da, per esempio \(\displaystyle (34) \) posso produrre \(\displaystyle (37) \) usando, per esempio (la scelta non è unica), \(\displaystyle \sigma = (4765) = (76)(65)(54) \). Allora siccome \(\displaystyle \sigma(34)\sigma^{-1} \) è uguale a \(\displaystyle (\sigma(3),\sigma(4)) \) per ogni \(\displaystyle \sigma \)* si ha \(\displaystyle (76)(65)(54)(34)(54)(65)(76) = (4765)(34)(4567) = (37) \).
La scelta di sigma non è comunque unica e non sono sicuro che questo sia l'unico modo per produrre una trasposizione come prodotto di trasposizioni elementari. Faccio notare comunque che per esempio le permutazioni \(\displaystyle (47) \), \(\displaystyle (457) \), \(\displaystyle (475)(12) \), \(\displaystyle (47162) \) sono tutte valide \(\displaystyle \sigma \). Inoltre avrei potuto partire da un qualsiasi \(\displaystyle (a,a+1) \), in particolare da \(\displaystyle (d-1,d) \) (come ho fatto nel secondo esempio). La mia scelta di \sigma ha ragioni pratiche (è la più facile permutazioni producibile come prodotto di trasposizioni elementari).
Prova a produrre \(\displaystyle (35) \) a come coniugato (il "metodo" ha questo nome) delle trasposizioni elementari \(\displaystyle (12) \), \(\displaystyle (34) \) e \(\displaystyle (45) \) e \(\displaystyle (36) \) a partire da \(\displaystyle (45) \). Se non ce la fai vedrò di scriverti una possibile soluzione.
* Ovviamente esiste una dimostrazione di questo fatto. Hai dato un'occhiata alle dispense scritte da Martino? https://www.matematicamente.it/staticfil ... otealg.pdf sono abbastanza sintetiche e riportano questo importante fatto.
Ora tu devi prendere una \(\displaystyle (ab) \) elementare ma qualsiasi e quindi puoi prendere \(\displaystyle (ab) = (c,c+1) \). In questo caso quindi \(\displaystyle \sigma \) deve fissare l'elemento \(\displaystyle c \)
Osservi che \(\displaystyle (23)(34)(45) = (5234) = (2345) \), in altre parole in generale vale che \(\displaystyle (a,a+1)(a+1,a+2)...(b,b+1) = (a,a+1,a+2,...,b,b+1) \). Inoltre è evidente che \(\displaystyle (2543) = (45)(34)(23) \). Se non lo è fatti i calcoli
...Partendo da, per esempio \(\displaystyle (34) \) posso produrre \(\displaystyle (37) \) usando, per esempio (la scelta non è unica), \(\displaystyle \sigma = (4765) = (76)(65)(54) \). Allora siccome \(\displaystyle \sigma(34)\sigma^{-1} \) è uguale a \(\displaystyle (\sigma(3),\sigma(4)) \) per ogni \(\displaystyle \sigma \)* si ha \(\displaystyle (76)(65)(54)(34)(54)(65)(76) = (4765)(34)(4567) = (37) \).
La scelta di sigma non è comunque unica e non sono sicuro che questo sia l'unico modo per produrre una trasposizione come prodotto di trasposizioni elementari. Faccio notare comunque che per esempio le permutazioni \(\displaystyle (47) \), \(\displaystyle (457) \), \(\displaystyle (475)(12) \), \(\displaystyle (47162) \) sono tutte valide \(\displaystyle \sigma \). Inoltre avrei potuto partire da un qualsiasi \(\displaystyle (a,a+1) \), in particolare da \(\displaystyle (d-1,d) \) (come ho fatto nel secondo esempio). La mia scelta di \sigma ha ragioni pratiche (è la più facile permutazioni producibile come prodotto di trasposizioni elementari).
Prova a produrre \(\displaystyle (35) \) a come coniugato (il "metodo" ha questo nome) delle trasposizioni elementari \(\displaystyle (12) \), \(\displaystyle (34) \) e \(\displaystyle (45) \) e \(\displaystyle (36) \) a partire da \(\displaystyle (45) \). Se non ce la fai vedrò di scriverti una possibile soluzione.
* Ovviamente esiste una dimostrazione di questo fatto. Hai dato un'occhiata alle dispense scritte da Martino? https://www.matematicamente.it/staticfil ... otealg.pdf sono abbastanza sintetiche e riportano questo importante fatto.
Provo a vedere una cosa alla volta, altrimenti non ci capisco nulla
Allora, $(23)(34)(45)=((12345),(15234))=(1)(2543)=((12345),(13452))=(1)(2345)$
E' giusto?
Allora, $(23)(34)(45)=((12345),(15234))=(1)(2543)=((12345),(13452))=(1)(2345)$
E' giusto?
"GundamRX91":
Provo a vedere una cosa alla volta, altrimenti non ci capisco nulla
Allora, $(23)(34)(45)=((12345),(15234))=(1)(2543)=((12345),(13452))=(1)(2345)$
E' giusto?
No...
Suppongo che tu stia leggendo da destra a sinistra. Altrimenti le cose si invertono.
\(\displaystyle (23)(34)(45)= \)
\(\displaystyle 1\mapsto 1 \)
\(\displaystyle (1) \)
\(\displaystyle 2\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 4 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 4\mapsto 3\mapsto 2. \)
\(\displaystyle (1)(2345) = \)
$((12345),(13452))$ dubbi?
Ora $((12345),(13452)) \ne ((12345),(13452))^{-1} = ((12345),(15234)) = (1)(2543) = (45)(34)(23)$
In effetti sono partito da destra... allora il mio errore è che non ho iterato la composizione funzionale dalla prima trasposizione a destra per le successive?? Poi avrei dovuto invece "mappare" le trasposizioni da sinistra a destra però, passami il termine, una sola alla volta come hai fatto tu?
Se è così allora è indifferente partire da destra o da sinistra, tenendo comunque a mente che se parto da sinistra non eseguo la composizione funzionale, mentre se parto da destra si. Ho capito bene?
Se è così allora è indifferente partire da destra o da sinistra, tenendo comunque a mente che se parto da sinistra non eseguo la composizione funzionale, mentre se parto da destra si. Ho capito bene?
No, non è affatto indifferente, le permutazioni non sono un gruppo abeliano. Ci sono 2 convenzioni. I libri base generalmente seguono quella funzionale di partire da destra mentre alcuni libri di teoria dei gruppi preferiscono leggere da sinistra (e in alcuni casi invertono anche l'ordine di letture della composizione funzionale per uniformità).
Se il tuo professore/professoressa legge da sinistra ok, altrimenti mettiti a leggere i prodotti da destra. Altrimenti generalmente ti esce fuori qualcosa di diverso. Per prodotti di trasposizioni (e solo per loro) per esempio scambiare l'ordine inverte il risultato finale. Quindi rimane lo stesso solo se ha ordine 2.
Comunque il prodotto di permutazioni si da applicando una dopo l'altra le permutazioni del prodotto e poi applicarle ancora finché non si chiude un ciclo. Oppure si possono applicare per gli elementi uno a uno e fare una tabella.
Vediamo se mi sono spiegato bene prova a fare il prodotto di \(\displaystyle (2345)(12)(7263)(56)(123)(56)(432) \) (sia da destra che da sinistra). Se ci riesci puoi semplificare il prodotto usando l'associatività e il fatto che cicli disgiunti commutano.
Se il tuo professore/professoressa legge da sinistra ok, altrimenti mettiti a leggere i prodotti da destra. Altrimenti generalmente ti esce fuori qualcosa di diverso. Per prodotti di trasposizioni (e solo per loro) per esempio scambiare l'ordine inverte il risultato finale. Quindi rimane lo stesso solo se ha ordine 2.
Comunque il prodotto di permutazioni si da applicando una dopo l'altra le permutazioni del prodotto e poi applicarle ancora finché non si chiude un ciclo. Oppure si possono applicare per gli elementi uno a uno e fare una tabella.
Vediamo se mi sono spiegato bene prova a fare il prodotto di \(\displaystyle (2345)(12)(7263)(56)(123)(56)(432) \) (sia da destra che da sinistra). Se ci riesci puoi semplificare il prodotto usando l'associatività e il fatto che cicli disgiunti commutano.
Provo.... da destra verso sinistra il prodotto dovrebbe essere:
$((1234567),(3514627))$
mentre da sinistra verso destra dovrebbe essere:
$((1234567),(4236157))$
$((1234567),(3514627))$
mentre da sinistra verso destra dovrebbe essere:
$((1234567),(4236157))$
\(\displaystyle (2345)(12)(7263)(56)(123)(56)(432) = (2345)(12)(7263)(56)(56)(123)(432) = (2345)(12)(7263)(123)(432)\)
Ok, faccio tutti i passaggi anche quelli in cui rimane fisso.
Da destra a sinistra...
\(\displaystyle 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 7 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 3\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 2 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 4 \)
\(\displaystyle 7\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 1 \)
Non riscrivo perché le colonne sopra solo le righe della rappresentazione per righe... Qui ogni colonna è il risultato parziale del prodotto.
Da sinistra a destra...
\(\displaystyle 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 7 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 4 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 3\mapsto 1\mapsto 1 \)
\(\displaystyle 7\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 2 \)
Stesso dicasi di quella prima. Hai capito ora come si fa? Ti è chiara la notazione per cicli?
Ok, faccio tutti i passaggi anche quelli in cui rimane fisso.
Da destra a sinistra...
\(\displaystyle 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 7 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 3\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 2 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 4 \)
\(\displaystyle 7\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 1 \)
Non riscrivo perché le colonne sopra solo le righe della rappresentazione per righe... Qui ogni colonna è il risultato parziale del prodotto.
Da sinistra a destra...
\(\displaystyle 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 7 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 4\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 4 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 6\mapsto 6\mapsto 3\mapsto 1\mapsto 1 \)
\(\displaystyle 7\mapsto 7\mapsto 7\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 2 \)
Stesso dicasi di quella prima. Hai capito ora come si fa? Ti è chiara la notazione per cicli?
Scusami vict, sono un'idiota!!!! Ho fatto il prodotto non con tutti i fattori che mi avevi indicato....nel momento che stavo iniziando a scriverli è venuto un collega e mi sono distratto (ogni tanto bisogna pur lavorare ).
Infatti ora rifacendo i calcoli viene esattamente come hai indicato nel dettaglio poco fa.
).Infatti ora rifacendo i calcoli viene esattamente come hai indicato nel dettaglio poco fa.
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