Prodotto di sottogruppi normali

[aram1]

Dato un gruppo G, se P e Q sono due suoi sottogruppi normali, inoltre $P\cap Q={1_G}$ e $PQ=G$ come posso concludere che $G \cong P \times Q$? Queste implicazioni non mi sembrano ovvie.

[aram1]

Cioè mi chiedo come poter dimostrare che G è isomorfo a $P \times Q$ se e solo se contiene due sottogruppi normali, che si intersecano solo nell’identità, isomorfi a P e Q rispettivamente.

[mistake89]

E' la definizione di prodotto diretto (interno) di gruppi. Non c'è nulla da dimostrare.

[aram1]

invece se $H$ è normale in $G$, vale $H \times H$ normale in $G \times G$? Come lo si dimostra?

[mistake89]

Con la definizione; provaci non è difficile. Devi valutare $(g_1,g_2)*H \times X *(g_1,g_2)^(-1)$ e ricordando qualche proprietà elementari del prodotto diretto di gruppi segue la tesi.

[aram1]

Grazie. Se dovessi esibire un esempio, $Z_2\times Z_2$ è normale in $Z_4\times Z_4$?

[mistake89]

In qual caso è ancora più semplice: son gruppi abeliani.

[aram1]

giusto!

[Gi81]

"aram":Grazie. Se dovessi esibire un esempio, $ZZ_2\times ZZ_2$ è normale in $ZZ_4\times ZZ_4$?

L'operazione da considerare è la somma, naturalmente.