Prodotto di interi coprimi e M.C.D.

[algibro]

Non riesco a dimostrarmi che dato un prodotto di interi a due a due coprimi tra loro $M=m_0 \cdot m_1 \cdot ... \cdot m_n$, avendo che $m_j|M$ con $M=m_jq_j$ allora $M.C.D.(m_j,q_j)=1$.

Ho provato cercando di tenere a mente che laddove un intero $m$ divida $ab$ e $M.C.D.(m,a)=1$ allora necessariamente $m|b$, ho cercato di sbrogliarmi con le identità di Bézout, ma nulla da fare.
Consapevole che quando vedrò la dimostrazione darò testate nel muro, ringrazio anticipatamente

[Shocker1]

Uhm, se il massimo comun divisore fra $m_j$ e $q_j$(che suppongo sia $\frac{M}{m_j}$) fosse $d != 1$ allora per il teorema fondamentale dell'aritmetica esiste un primo $p$ tale che $p|d$, da cui $p | m_j$ e $p | q_j$, quindi esiste un indice $i != j$ tale che $p | m_i$, ma allora $MCD(m_j, m_i) != 1$, contro le ipotesi. Che dici?

[algibro]

"Shocker":Uhm, se il massimo comun divisore fra $m_j$ e $q_j$(che suppongo sia $\frac{M}{m_j}$) fosse $d != 1$ allora per il teorema fondamentale dell'aritmetica esiste un primo $p$ tale che $p|d$, da cui $p | m_j$ e $p | q_j$, quindi esiste un indice $i != j$ tale che $p | m_i$, ma allora $MCD(m_j, m_i) != 1$, contro le ipotesi. Che dici?

Dico che mi convince, finalmente.

Giusto un particolare:
$p|m_i$ per $i != j$ perché essendo $q_j$ il prodotto di tutti i coprimi $m_0,m_1,...,m_n$ eccetto $m_j$ e essendo $p$ primo, se $p|q_j$ allora $p$ divide anche uno dei fattori di detto prodotto, giusto ?

vado a cercare un muro.

Grazie mille.

[Shocker1]

Giusto.