Prodotto di insiemi - Esercizio 1.2.8 e 1.2.9
1.2.8
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$
1.2.9
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.
Posto sotto quello che sono riuscito a fare sperando in un aiutino (non soluzione) per andare avanti
Grazie
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$
1.2.9
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.
Posto sotto quello che sono riuscito a fare sperando in un aiutino (non soluzione) per andare avanti
Grazie
Risposte
1.2.8
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$
$\Rightarrow$
Ipotesi: $(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$
Tesi: $S = T = V$
$\subseteq$: $S \subseteq T \subseteq V$
Sia $x \in S$, se $y \in T \Rightarrow (x,y) \in S \times T \Rightarrow (x,y) \in (S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$ per ipotesi, per cui $\Rightarrow (x,y) \in V \times V \Rightarrow x \in V$ e $y \in V \Rightarrow x \in V$.
Qui ho dimostrato che se $x \in V$, $\forall x \in S$ ma se non sbaglio non ho dimostrato che $x \in T$ e qui mi sono arenato
suggerimenti?
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$
$\Rightarrow$
Ipotesi: $(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$
Tesi: $S = T = V$
$\subseteq$: $S \subseteq T \subseteq V$
Sia $x \in S$, se $y \in T \Rightarrow (x,y) \in S \times T \Rightarrow (x,y) \in (S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$ per ipotesi, per cui $\Rightarrow (x,y) \in V \times V \Rightarrow x \in V$ e $y \in V \Rightarrow x \in V$.
Qui ho dimostrato che se $x \in V$, $\forall x \in S$ ma se non sbaglio non ho dimostrato che $x \in T$ e qui mi sono arenato
suggerimenti?
1.2.9
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.
Avevo pensato che qualsiasi $W \subseteq S \times T$ è comunque un prodotto cartesiano. L'unico insieme che forse non lo è sarebbe $\emptyset$. Ma
1) non so se è giusto
2) se fosse giusto non riesco a capire come formalizzare
anche per questo accetto suggerimenti ^__^ grazie.
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.
Avevo pensato che qualsiasi $W \subseteq S \times T$ è comunque un prodotto cartesiano. L'unico insieme che forse non lo è sarebbe $\emptyset$. Ma
1) non so se è giusto
2) se fosse giusto non riesco a capire come formalizzare
anche per questo accetto suggerimenti ^__^ grazie.
1.2.9
non è detto che qualsiasi sottoinsieme $W$ sia un prodotto cartesiano, per esempio basta che in questo sottoinsieme ci sia una coppia $(s,t)$ tale per cui l'elemento s di S sia ripetuto una sola volta. è ovvio che se stiamo parlando di insiemi contenti più di un elemento, l'insieme $W$ dovrebbe avere tante coppie (x,elemento qualsiasi di T) quanto è la cardinalità di $T$ ovvero $|T|$, che per ipotesi è maggiore di uno.
ecco trovato un sottoinsieme $W$ del tipo che cercavamo.
ps scusa se ho spiegato un po' frettolosamente ma sto scappando all' uni...se torno e c'è qualcosa che ancora non è chiaro provo a risponderti...
ciao
non è detto che qualsiasi sottoinsieme $W$ sia un prodotto cartesiano, per esempio basta che in questo sottoinsieme ci sia una coppia $(s,t)$ tale per cui l'elemento s di S sia ripetuto una sola volta. è ovvio che se stiamo parlando di insiemi contenti più di un elemento, l'insieme $W$ dovrebbe avere tante coppie (x,elemento qualsiasi di T) quanto è la cardinalità di $T$ ovvero $|T|$, che per ipotesi è maggiore di uno.
ecco trovato un sottoinsieme $W$ del tipo che cercavamo.
ps scusa se ho spiegato un po' frettolosamente ma sto scappando all' uni...se torno e c'è qualcosa che ancora non è chiaro provo a risponderti...
ciao
"jack":
1.2.9
non è detto che qualsiasi sottoinsieme $W$ sia un prodotto cartesiano, per esempio basta che in questo sottoinsieme ci sia una coppia $(s,t)$ tale per cui l'elemento s di S sia ripetuto una sola volta. è ovvio che se stiamo parlando di insiemi contenti più di un elemento, l'insieme $W$ dovrebbe avere tante coppie (x,elemento qualsiasi di T) quanto è la cardinalità di $T$ ovvero $|T|$, che per ipotesi è maggiore di uno.
ecco trovato un sottoinsieme $W$ del tipo che cercavamo.
ps scusa se ho spiegato un po' frettolosamente ma sto scappando all' uni...se torno e c'è qualcosa che ancora non è chiaro provo a risponderti...
ciao
Mmmm non riesco a capire, $S \times T$ contiene tutte coppie con $x \in S$ e $y \in T$ per cui anche una sola coppia di prima coordinata $x$ questa apparterrebbe ad insieme che è comunque un prodotto cartesiano di due sottoinsiemei di $S \times T$ ... credo di non aver capito ancora
forse un esempio può chiarirti meglio....
prendo gli insiemi X={a,b,c,d,e,f} e Y={1,2,3,4,5,6} (che abbiano la stessa cardinalità è un caso...); adesso immagina l' insieme $X \times Y$; da questo insieme posso prendere un certo numero di coppie tali che non siano il prodotto di nessun sottoinsieme di X e di Y: per esempio l'insieme Z={(a,2),(a,6),(b,5)} chiaramente non è il prodotto di due sottinsiemi appartenenti rispettivamente a X e Y (infatti mancherebbero le coppie (a,5) (b,2) (b,6))
prendo gli insiemi X={a,b,c,d,e,f} e Y={1,2,3,4,5,6} (che abbiano la stessa cardinalità è un caso...); adesso immagina l' insieme $X \times Y$; da questo insieme posso prendere un certo numero di coppie tali che non siano il prodotto di nessun sottoinsieme di X e di Y: per esempio l'insieme Z={(a,2),(a,6),(b,5)} chiaramente non è il prodotto di due sottinsiemi appartenenti rispettivamente a X e Y (infatti mancherebbero le coppie (a,5) (b,2) (b,6))
Ahh ho capito anzi....EUREKA!
Mica mi sai dire qualcosa anche per il primo esercizio?
Grazie comunque per la pazienza.
Mica mi sai dire qualcosa anche per il primo esercizio?
Grazie comunque per la pazienza.
Il primo ex. lo potresti provare con la proprietà commutativa del prodotto e con la proprietà iterativa dell'unione.
Grazie Mortimer, ancora pecco nel non prendere tutto ciò che conosco in considerazione proverò e vi farò sapere. Grazie ancora.
proverò e vi farò sapere. Grazie ancora.
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