Prodotto di due sottogruppi e normalizzatori
[size=150]Sia $G$ un gruppo e siano $H,K$ suoi sottogruppi.
Siano $N(H)={n in G|nHn^(-1)=H}$ , $N(K)={n in G|nKn^(-1)=K}$ i normalizzatori in $G$ di $H$ e di $K$, rispettivamente.
Supponiamo che $HK=KH$ e che quindi questo sia un sottogruppo di $G$.
Dimostrare allora che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$.[/size]
Siano $N(H)={n in G|nHn^(-1)=H}$ , $N(K)={n in G|nKn^(-1)=K}$ i normalizzatori in $G$ di $H$ e di $K$, rispettivamente.
Supponiamo che $HK=KH$ e che quindi questo sia un sottogruppo di $G$.
Dimostrare allora che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$.[/size]
Risposte
ma mi sembra abbastanza ovvio visto che hai che $HK=KH$ e quindi ad esempio
sicuramente ogni elemento di $k\in K$ appartiene a $N(H)$ in quanto devi vedere se $kHk^{-1}=H$
cioè $kH=Hk$ e questo è ovviamente verificato in quanto vale $KH=HK$
stessa cosa per l'altra inclusione.
cmq aspetta ad altri perchè io di sicuro mi sbaglierò.
sicuramente ogni elemento di $k\in K$ appartiene a $N(H)$ in quanto devi vedere se $kHk^{-1}=H$
cioè $kH=Hk$ e questo è ovviamente verificato in quanto vale $KH=HK$
stessa cosa per l'altra inclusione.
cmq aspetta ad altri perchè io di sicuro mi sbaglierò.
"miuemia":
$kH=Hk$ e questo è ovviamente verificato in quanto vale $KH=HK$
Puoi spiegarti meglio con un po' più di rigore?
Io non ho capito perché dovrebbe essere così ovvio
se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.
ed è quello che dovevi dimostrare
ed è quello che dovevi dimostrare
"miuemia":
se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.
Se è vero, mi sembra tutto fuorché abbastanza ovvio.
$HK=KH$ significa che dati $h in H$, $k in K$, il prodotto $hk$ si può scrivere come $k'h'$ con $k' in K$, $h' in H$. Come fai da qui a dedurre che $kH=Hk$ ?
Modifico: per esempio se prendi $G=S_3$ e $H=<(1\ 2)>$, $K=<(1\ 2\ 3)>$ allora $HK=KH=G$ ma $H (1\ 2\ 3) ne (1\ 2\ 3) H$.
"Martino":
[quote="miuemia"]se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.
Se è vero, mi sembra tutto fuorché abbastanza ovvio.
$HK=KH$ significa che dati $h in H$, $k in K$, il prodotto $hk$ si può scrivere come $k'h'$ con $k' in K$, $h' in H$. Come fai da qui a dedurre che $kH=Hk$ ?
[/quote]
Era esattamente quello che pensavo io!
Infatti da $HK=KH$ deduci che:
1) $HK subseteq KH$ cioè $forall h in H, forall k in K, exists h' in H, exists k' in K : hk=k'h'$
2) $KH subseteq HK$ cioè $forall h in H, forall k in K, exists h' in H, exists k' in K : kh=h'k'$
E poi chiedo di dimostrare che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$ e non che siano vere entrambe. Mentre dal tuo "ragionamento", miuemia, si potrebbe "dedurre" che siano vere tutte e due.
Quindi Martino ti chiedo di aiutarmi in questo esercizio..
"NightKnight":
Quindi Martino ti chiedo di aiutarmi in questo esercizio..
Ci penso e ti faccio sapere.
Allora io ci ho pensato, ma purtroppo non ne ho cavato idee troppo utili.
Ho osservato che detto $V=HK=KH$, si ha $N_V(H) subseteq N_G(H)$ e $N_V(K) subseteq N_G(K)$ e quindi possiamo supporre $G=V$ (perché se mostriamo il risultato per $V$ allora vale anche per $G$). A questo punto il problema si traduce nel seguente:
(*) "Dati un gruppo $G$ e due suoi sottogruppi $H$, $K$ tali che $HK=KH=G$, mostrare che uno almeno tra $H$ e $K$ è normale in $G$."
Ora per semplificare mi sono messo a studiare il caso in cui $H nn K = 1$ (sperando di potermici ricondurre quozientando opportunamente), con la speranza che la teoria dei complementi mi potesse aiutare (un complemento di un sottogruppo $H$ è proprio un sottogruppo $K$ tale che $H nn K = 1$ e $HK=G$). Purtroppo però quando si parla di complementi lo si fa sempre in riferimento a sottogruppi normali, non ho trovato teorie sui complementi di sottogruppi non-normali.
L'ipotesi $H nn K=1$ si traduce volendo in "per ogni $g in G$ le scritture $g=hk$, $g=k'h'$ con $h,h' in H$, $k,k' in K$ sono uniche", oppure in "$H$ contiene esattamente un elemento di ogni laterale sinistro di $K$, ed esattamente un elemento per ogni laterale destro di $K$; e viceversa". Forse queste formulazioni possono essere utili.
Se l'enunciato fosse vero mi spiegherebbe molte cose sui complementi e ne sarei contento.
PS: poi magari c'è una soluzione semplice ed evidente, ma non la vedo...
Ho osservato che detto $V=HK=KH$, si ha $N_V(H) subseteq N_G(H)$ e $N_V(K) subseteq N_G(K)$ e quindi possiamo supporre $G=V$ (perché se mostriamo il risultato per $V$ allora vale anche per $G$). A questo punto il problema si traduce nel seguente:
(*) "Dati un gruppo $G$ e due suoi sottogruppi $H$, $K$ tali che $HK=KH=G$, mostrare che uno almeno tra $H$ e $K$ è normale in $G$."
Ora per semplificare mi sono messo a studiare il caso in cui $H nn K = 1$ (sperando di potermici ricondurre quozientando opportunamente), con la speranza che la teoria dei complementi mi potesse aiutare (un complemento di un sottogruppo $H$ è proprio un sottogruppo $K$ tale che $H nn K = 1$ e $HK=G$). Purtroppo però quando si parla di complementi lo si fa sempre in riferimento a sottogruppi normali, non ho trovato teorie sui complementi di sottogruppi non-normali.
L'ipotesi $H nn K=1$ si traduce volendo in "per ogni $g in G$ le scritture $g=hk$, $g=k'h'$ con $h,h' in H$, $k,k' in K$ sono uniche", oppure in "$H$ contiene esattamente un elemento di ogni laterale sinistro di $K$, ed esattamente un elemento per ogni laterale destro di $K$; e viceversa". Forse queste formulazioni possono essere utili.
Se l'enunciato fosse vero mi spiegherebbe molte cose sui complementi e ne sarei contento.
PS: poi magari c'è una soluzione semplice ed evidente, ma non la vedo...
avete entrambi ragione... ho sbagliato clamorosamente, come sempre del resto.
una domanda ma dalle ipotesi cioè che $HK=KH$ si può dire che $H$ è un sottogruppo normale in $HK$ e stessa cosa dicasi per $K$??
una domanda ma dalle ipotesi cioè che $HK=KH$ si può dire che $H$ è un sottogruppo normale in $HK$ e stessa cosa dicasi per $K$??
"NightKnight":
[size=150]Sia $G$ un gruppo e siano $H,K$ suoi sottogruppi.
Siano $N(H)={n in G|nHn^(-1)=H}$ , $N(K)={n in G|nKn^(-1)=K}$ i normalizzatori in $G$ di $H$ e di $K$, rispettivamente.
Supponiamo che $HK=KH$ e che quindi questo sia un sottogruppo di $G$.
Dimostrare allora che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$.[/size]
Falso.
Consideriamo $S_4$, il gruppo delle permutazioni di 4 oggetti. Siano $H$ un 3-Sylow e $K$ un 2-Sylow di $S_4$, rispettivamente di ordine 3 e 8. Chiaramente $HK=S_4=KH$.
Le permutazioni di ordine 3 sono 8, e dunque i 3-Sylow sono 4, e dunque $|N(H)|= 6$.
Inoltre tutte le permutazioni diverse dall'identita' sono di ordine 2, 3 o 4. Ne segue che gli elementi di ordine 2 o 4 sono 24-8-1=15. Dunque i 2-Sylow devono essere in numero maggiore di 1, poiche' ogni permutazione di ordine 2 o 4 e' contenuta in un 2-Sylow (e' noto che in generale ogni p-sottogruppo e' contenuto in un p-Sylow). Ma allora necessariamente $N(K)=K$.
Quindi ne' $N(H) supseteq K$ ne' $N(K) supseteq H$.
uffa fields c'ho speso un bel pò di tempo per trovare un contro-esempio... lo scrivo perchè lo capisce anche chi (per ora) come me non sa cosa è un p-sylow.... 
riscriviamo la tesi come dice martino...
notiamo che nel caso di $G$ finito, se $HK=G$, allora vale anche $KH=G$.
Infatti dalla formula delle cardinalità del prodotto si ha che $|HK|=|KH|$ e visto che esiste un solo insieme di cardinalità $|G|$ dentro G si ha la conclusione.
Per trovare un controesemio basta quindi trovare due sottogruppi non normali $H$ e $K$ di un sottogruppo $G$ finito t.c. $HK=G$.
Prendendo il diedrale $D_(15)$ ed i sottogruppi:
$H=$$={1,r^3,r^6,r^9,r^12,s,sr^3,sr^6,sr^9,sr^{12}}$
$K=$$={1,r^5,r^10,s,sr^5,sr^10}$
questi non sono normali (segue da una caratterizzazione dei gruppi normali del diedrale, se volte farlo a mano per esempio per vedere $H$ non normale $rsr^3r^{-1}=rsr^2=sr$ ed $sr$ non è in H. Analogamente per K.
Inoltre $HK=G$ perchè, dalla formula delle cardinalità questo insieme ha ordine $10*6/2=30$ e quindi è tutto il diedrale.
riscriviamo la tesi come dice martino...
notiamo che nel caso di $G$ finito, se $HK=G$, allora vale anche $KH=G$.
Infatti dalla formula delle cardinalità del prodotto si ha che $|HK|=|KH|$ e visto che esiste un solo insieme di cardinalità $|G|$ dentro G si ha la conclusione.
Per trovare un controesemio basta quindi trovare due sottogruppi non normali $H$ e $K$ di un sottogruppo $G$ finito t.c. $HK=G$.
Prendendo il diedrale $D_(15)$ ed i sottogruppi:
$H=
$K=
questi non sono normali (segue da una caratterizzazione dei gruppi normali del diedrale, se volte farlo a mano per esempio per vedere $H$ non normale $rsr^3r^{-1}=rsr^2=sr$ ed $sr$ non è in H. Analogamente per K.
Inoltre $HK=G$ perchè, dalla formula delle cardinalità questo insieme ha ordine $10*6/2=30$ e quindi è tutto il diedrale.
"Thomas":
uffa fields c'ho speso un bel pò di tempo per trovare un contro-esempio... lo scrivo perchè lo capisce anche chi (per ora) come me non sa cosa è un p-sylow....
Be', i p-Sylow sono solo un modo per non insozzarsi le mani con un volgare gruppo "concreto" e con i relativi calcoli...
Sai com'e', mettevmi a calcolave i novmalizzatovi e esibive degli ovvvvibili sottogvuppi alla stvegua di ovgani genitali mi sembvava cosi' spudovato e cosi' tevvibilmente naif
ma sentitelo l'informatico! 
....
cmq ammetto che da bambino mi rotolavo nel fango
....cmq ammetto che da bambino mi rotolavo nel fango
"Thomas":
ma sentitelo l'informatico!
Touche'
Ho ancora le mani sporche di grasso per bulloni dopo aver avvitato il case dell'ultimo pc
Ah, sono un po' sollevato mi sembrava strano che non esistessero dimostrazioni "tutte dritte" (per non dire straightforward).
A questo punto NightKnight ti chiederei se ti sei dimenticato di scrivere qualche ipotesi. Dove hai preso l'esercizio?
mi sembrava strano che non esistessero dimostrazioni "tutte dritte" (per non dire straightforward).A questo punto NightKnight ti chiederei se ti sei dimenticato di scrivere qualche ipotesi. Dove hai preso l'esercizio?
Durante una lezione del corso di algebra mi era parso di capire che il professore avesse detto di provare a dimostrare che quella condizione sui normalizzatori fosse non solo sufficiente ma anche necessaria affinchè HK fosse un gruppo.
Quindi, vista l'infallibilità del mio professore di algebra, deduco che avevo capito male.
Chiedo quindi scusa se vi ho fatto perdere tempo a cercare di dimostrare una cosa falsa.
Quindi, vista l'infallibilità del mio professore di algebra, deduco che avevo capito male.
Chiedo quindi scusa se vi ho fatto perdere tempo a cercare di dimostrare una cosa falsa.
Secondo me capire che una cosa è falsa e cercare di trovare un controesempio è comunque segno di buona comprensione della materia, e comunque un buon esercizio. Queste occasioni mi fanno rendere conto di non essere ancora in grado di vedere "a naso" se una cosa di questo tipo è falsa o vera, e in effetti anch'io avevo provato a dimostrarlo senza successo (forse anche a causa che conosco personalmente NightKnight e, "a fiducia", non pensavo che proponesse di dimostrare una cosa falsa). E' servito a ricordarmi di esercitare sempre e comunque il dubbio, lo spirito della scienza. In definitiva per me non è stato tempo perso.
"alvinlee88":
conosco personalmente NightKnight e, "a fiducia", non pensavo che proponesse di dimostrare una cosa falsa
O Alvinlee88, così mi riempi d'orgoglio; ma devo ammettere che si tratta di un orgoglio immotivato, visto che nemmeno a me era venuta l'idea che potesse essere una proposizione falsa.
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