Prodotto di cicli non disgiunti

[jigen45]

Salve ragazzi, spero che il titolo e la sezione siano quelli giusti.

Assegnate le permutazioni $ sigma_1 = (1342) $ , $ sigma_2 = (25)(34) in S_5 $, determinare la permutazione $ tau in S_5 $ tale che $ sigma_2 = tau sigma_1^-1 $.

Allora ho fatto così:
$ tau = sigma_2sigma_1 = (25)(34)(1342) $

Adesso come lo faccio il prodotto tra cicli? Grazie in anticipo

[vict85]

Esistono due possibili risultati a seconda delle preferenze dell'autore. Spesso, siccome l'operazione di \( S_n\) è la composizione di funzioni, si applicano le permutazioni da destra a sinistra, ma alcuni autori preferiscono seguire la norma di applicarle da sinistra a destra (e in alcuni casi la applicano anche alle funzioni).

Supponendo che tu faccia i calcoli da destra a sinistra tu hai che:

\(2\mapsto 1\) (per \((2134)\) )
\(1\mapsto 3 \mapsto 4\) (prima \((1342)\) e poi \((43)\) )
\(4\mapsto 2\mapsto 5\) (prima \((4213)\) e poi \((25)\) )
\(5\mapsto 2\) (per \((52)\) )
Quindi il primo ciclo è \((2145) = (1452)\)

Dovrebbe essere ovvio, ma cosa ne è del 3?

[jigen45]

$ 3 $ rimane $ 3 $ giusto?

[jigen45]

non mi è chiaro però il ragionamento.. parti da $ 2 $ dell'ultimo ciclo. Come mai? Se ad esempio parto da $ 4 $ sempre dell'ultimo ciclo ho
$ 4 -> 2 -> 5 $
$ 5 -> 2 $

e poi mi fa sempre $ 2 -> 5 $ .. sapresti farmi uscire da questo "loop"

[vict85]

Non ricordo come mai sono partito da due, comunque non cambia nulla. Il 2 continua ad essere mandato in 1. Il 4 in 5, il 3 in se stesso e così via.

[jigen45]

ok però l'unica cosa che non capisco ad esempio parto da $ 4 $ dell'ultimo ciclo e vado al $ 5 $ del primo poi da $ 5 $ a $ 2 $ del primo ciclo a questo punto come faccio a sapere qual è il numero da considerare, visto che il $ 2 $ del primo ciclo non lo posso prendere perché mi andrebbe in $ 5 $ e così non finisco mai?...

[vict85]

Ogni volta riparti dal primo ciclo. Stai di fatto costruendo la tabella, solo che la fai in un certo ordine per avere il ciclo invece della tabella e basta.

[jigen45]

quindi parto sempre dal primo ciclo? E nel caso in cui il numero non è presente nel ciclo di destra, come ad esempio $ 5 $ parto dal ciclo in cui si trova quest'ultimo?

Ho provato a partire dall' $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 3 -> 4 $ prima per $ (1342) $ poi per $ (34) $
$ 4 -> 2 -> 5 $ prima per $ (4213) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $
$ 2 -> 1 $ per $ (2134) $

ho provato a fare lo stesso ragionamento per $ tau = sigma_2sigma_1^(-1) $; dovrebbe uscire $ (1254) $ ma non mi viene.
$ tau = (25)(34)(1243) $
parto da $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 2 -> 5 $ prima per $ (1243) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $

già non mi viene.. che ho combinato?

[vict85]

Non capisco il \(\tau = \sigma_2\sigma_1^{-1}\). Se \(\sigma_2 = \tau\sigma_1^{-1}\) allora \(\tau = \sigma_2\sigma_1\).

Il risultato non ti viene perché \((1254) = \sigma_1^{-1}\sigma_2\). Il tuo professore applica le permutazioni da sinistra a destra e non da destra a sinistra come ho fatto io. Ti avevo già detto che esiste questo problema. Semplicemente da la stessa cosa ma parti dal primo a sinistra invece che il primo a destra.