Prodotto di cicli non disgiunti
Salve ragazzi, spero che il titolo e la sezione siano quelli giusti.
Assegnate le permutazioni $ sigma_1 = (1342) $ , $ sigma_2 = (25)(34) in S_5 $, determinare la permutazione $ tau in S_5 $ tale che $ sigma_2 = tau sigma_1^-1 $.
Allora ho fatto così:
$ tau = sigma_2sigma_1 = (25)(34)(1342) $
Adesso come lo faccio il prodotto tra cicli? Grazie in anticipo
Assegnate le permutazioni $ sigma_1 = (1342) $ , $ sigma_2 = (25)(34) in S_5 $, determinare la permutazione $ tau in S_5 $ tale che $ sigma_2 = tau sigma_1^-1 $.
Allora ho fatto così:
$ tau = sigma_2sigma_1 = (25)(34)(1342) $
Adesso come lo faccio il prodotto tra cicli? Grazie in anticipo

Risposte
Esistono due possibili risultati a seconda delle preferenze dell'autore. Spesso, siccome l'operazione di \( S_n\) è la composizione di funzioni, si applicano le permutazioni da destra a sinistra, ma alcuni autori preferiscono seguire la norma di applicarle da sinistra a destra (e in alcuni casi la applicano anche alle funzioni).
Supponendo che tu faccia i calcoli da destra a sinistra tu hai che:
\(2\mapsto 1\) (per \((2134)\) )
\(1\mapsto 3 \mapsto 4\) (prima \((1342)\) e poi \((43)\) )
\(4\mapsto 2\mapsto 5\) (prima \((4213)\) e poi \((25)\) )
\(5\mapsto 2\) (per \((52)\) )
Quindi il primo ciclo è \((2145) = (1452)\)
Dovrebbe essere ovvio, ma cosa ne è del 3?
Supponendo che tu faccia i calcoli da destra a sinistra tu hai che:
\(2\mapsto 1\) (per \((2134)\) )
\(1\mapsto 3 \mapsto 4\) (prima \((1342)\) e poi \((43)\) )
\(4\mapsto 2\mapsto 5\) (prima \((4213)\) e poi \((25)\) )
\(5\mapsto 2\) (per \((52)\) )
Quindi il primo ciclo è \((2145) = (1452)\)
Dovrebbe essere ovvio, ma cosa ne è del 3?
$ 3 $ rimane $ 3 $ giusto?
non mi è chiaro però il ragionamento.. parti da $ 2 $ dell'ultimo ciclo. Come mai? Se ad esempio parto da $ 4 $ sempre dell'ultimo ciclo ho
$ 4 -> 2 -> 5 $
$ 5 -> 2 $
e poi mi fa sempre $ 2 -> 5 $ .. sapresti farmi uscire da questo "loop"
$ 4 -> 2 -> 5 $
$ 5 -> 2 $
e poi mi fa sempre $ 2 -> 5 $ .. sapresti farmi uscire da questo "loop"

Non ricordo come mai sono partito da due, comunque non cambia nulla. Il 2 continua ad essere mandato in 1. Il 4 in 5, il 3 in se stesso e così via.
ok però l'unica cosa che non capisco ad esempio parto da $ 4 $ dell'ultimo ciclo e vado al $ 5 $ del primo poi da $ 5 $ a $ 2 $ del primo ciclo a questo punto come faccio a sapere qual è il numero da considerare, visto che il $ 2 $ del primo ciclo non lo posso prendere perché mi andrebbe in $ 5 $ e così non finisco mai?...
Ogni volta riparti dal primo ciclo. Stai di fatto costruendo la tabella, solo che la fai in un certo ordine per avere il ciclo invece della tabella e basta.
quindi parto sempre dal primo ciclo? E nel caso in cui il numero non è presente nel ciclo di destra, come ad esempio $ 5 $ parto dal ciclo in cui si trova quest'ultimo?
Ho provato a partire dall' $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 3 -> 4 $ prima per $ (1342) $ poi per $ (34) $
$ 4 -> 2 -> 5 $ prima per $ (4213) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $
$ 2 -> 1 $ per $ (2134) $
ho provato a fare lo stesso ragionamento per $ tau = sigma_2sigma_1^(-1) $; dovrebbe uscire $ (1254) $ ma non mi viene.
$ tau = (25)(34)(1243) $
parto da $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 2 -> 5 $ prima per $ (1243) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $
già non mi viene..
che ho combinato?
Ho provato a partire dall' $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 3 -> 4 $ prima per $ (1342) $ poi per $ (34) $
$ 4 -> 2 -> 5 $ prima per $ (4213) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $
$ 2 -> 1 $ per $ (2134) $
ho provato a fare lo stesso ragionamento per $ tau = sigma_2sigma_1^(-1) $; dovrebbe uscire $ (1254) $ ma non mi viene.
$ tau = (25)(34)(1243) $
parto da $ 1 $ dell'ultimo ciclo:
$ 1 -> 2 -> 5 $ prima per $ (1243) $ poi per $ (25) $
$ 5 -> 2 $ per $ (52) $
già non mi viene..

Non capisco il \(\tau = \sigma_2\sigma_1^{-1}\). Se \(\sigma_2 = \tau\sigma_1^{-1}\) allora \(\tau = \sigma_2\sigma_1\).
Il risultato non ti viene perché \((1254) = \sigma_1^{-1}\sigma_2\). Il tuo professore applica le permutazioni da sinistra a destra e non da destra a sinistra come ho fatto io. Ti avevo già detto che esiste questo problema. Semplicemente da la stessa cosa ma parti dal primo a sinistra invece che il primo a destra.
Il risultato non ti viene perché \((1254) = \sigma_1^{-1}\sigma_2\). Il tuo professore applica le permutazioni da sinistra a destra e non da destra a sinistra come ho fatto io. Ti avevo già detto che esiste questo problema. Semplicemente da la stessa cosa ma parti dal primo a sinistra invece che il primo a destra.