Prodotto cartesiano e quoziente
Ho $X,Y$ spazi topologici, $p:X\to Y$ mappa di identificazione. Sia $Z$ un'altro spazio topologico. Mi chiedo se $p\times 1 :X\times Z \to Y\times Z$ è una mappa di identificazione.
Se la risposta è si, mi basterebbe provare che dato $V\subseteq Y\times Z$, se $(p\times 1)^{-1}(V)$ è aperto (in $X\times Z$) allora $V$ è aperto.
E' vero che le sezioni orizzontali o verticali di $V$, cioè i sottoinsiemi $V_z:={y\in Y : (y,z)\in V}\subseteq Y$ e $V_z:={z\in Z : (y,z)\in V}\subseteq Z$ sono aperti, ma ciò non basta per garantire che $V$ sia aperto. Per esempio se in $CC\sim RR\times RR$ considero ${rho e^{i\theta}\in CC : \rho \in [0,1), \theta \in [0,\pi/4)\cup (3\pi/4,2\pi)}$, tutte le sue sezioni orizzontali e verticali sono aperte, ma l'insieme non è aperto in $RR\times RR$.
Se la risposta è si, mi basterebbe provare che dato $V\subseteq Y\times Z$, se $(p\times 1)^{-1}(V)$ è aperto (in $X\times Z$) allora $V$ è aperto.
E' vero che le sezioni orizzontali o verticali di $V$, cioè i sottoinsiemi $V_z:={y\in Y : (y,z)\in V}\subseteq Y$ e $V_z:={z\in Z : (y,z)\in V}\subseteq Z$ sono aperti, ma ciò non basta per garantire che $V$ sia aperto. Per esempio se in $CC\sim RR\times RR$ considero ${rho e^{i\theta}\in CC : \rho \in [0,1), \theta \in [0,\pi/4)\cup (3\pi/4,2\pi)}$, tutte le sue sezioni orizzontali e verticali sono aperte, ma l'insieme non è aperto in $RR\times RR$.
Risposte
Ho fatto un piccolo passo avanti nella risoluzione di questo problema:
Siano $X,Y$ uno spazi topologici, $R$ un relazione di equivalenza in $X$ e $p:X\to X/R$ la proiezione canonica. Se per ogni classe di equivalenza $C\subseteq X$, il sottoinsieme $C \cap \del C=C\setminus C^o$ è compatto, allora $p\times 1_Y : X\times Y \to (X/R)\times Y$ è una mappa di identificazione.
Siano $X,Y$ uno spazi topologici, $R$ un relazione di equivalenza in $X$ e $p:X\to X/R$ la proiezione canonica. Se per ogni classe di equivalenza $C\subseteq X$, il sottoinsieme $C \cap \del C=C\setminus C^o$ è compatto, allora $p\times 1_Y : X\times Y \to (X/R)\times Y$ è una mappa di identificazione.
ma non basta considerare il fatto che una base per la topologia prodotto è data dai prodotti $AxB$ con A aperto in X e B aperto in Y???..così facendo è immediato
gli aperti in YxZ sono per come è definita la topologia prodotto (anche perchè le proiezioni devono essere continue) unioni di AxB con A aperto in Y e B aperto in Z. A è aperto in Y se $p^(-1)(A)$ è aperto in X perchè è un'identificazione, quindi l'immagine inversa di AxB è aperta in XxZ e poichè ogni aperto di YxZ si scrive come unione di aperti AxB con immagine inversa aperta, allora l'immagine inversa tramite px1 di ogni aperto in YxZ è aperta in XxZ e quindi è una identificazione. Un'altro modo sarebbe quello di far vedere che gli aperti di YxZ sono le immagini degli aperti saturi di XxZ. E' facile perchè se U è aperto in YxZ esso sarà unione di AxB con A in Y immagine di un aperto saturo perchè p è identificazione e B in Z necessariamente aperto saturo perchè la mappa è 1. se faccio $px1^(-1)(U)=px1^(-1)(unioni AixBi)$ ma la mappa è surriettiva quindi $=Unioni px1^(-1)(AixBi)$ ciascuno dei quali è saturo.
"alberto86":
gli aperti in YxZ sono per come è definita la topologia prodotto (anche perchè le proiezioni devono essere continue) unioni di AxB con A aperto in Y e B aperto in Z. A è aperto in Y se $p^(-1)(A)$ è aperto in X perchè è un'identificazione, quindi l'immagine inversa di AxB è aperta in XxZ e poichè ogni aperto di YxZ si scrive come unione di aperti AxB con immagine inversa aperta, allora l'immagine inversa tramite px1 di ogni aperto in YxZ è aperta in XxZ e quindi è una identificazione.
Tu devi partire da un sottoinsieme $U\subseteq Y\times Z$; devi dimostrare che se $(p\times 1_Z)^(-1)(U)$ è aperto in $X\times Z$, allora $U$ è aperto in $Y\times Z$. Non puoi scrivere $U$ come riunione di prodotti di aperti di $X$ e $Y$ perchè non sai se $U$ è aperto; sai solo che $(p\times 1_Z)^(-1)(U)$ è aperto.
Sia $p_X\to Y$ una mappa di identificazione tra spazi topologici. Sia $Z$ uno spazio topologico tale che per ogni $z\in Z$ e per ogni aperto $W:z\in W\subseteq Z$ esiste un intorno di $z$ a chiusura compatta in $W$.
Allora $p\times 1_Z : X\times Z \to Y\times Z$ è una mappa di identificazione.
Dim: Sia $V\subseteq Y\times Z$ tale che $U:=(p\times 1_Z)^(-1)(V)$ è aperto in $X\times Z$.
Sia $(x,z)\in U$; allora esiste un aperto $W:z\in W\subseteq Z$ tale che ${x}\times W\subseteq X\times Z$. Per ipotesi esiste un compatto $K:z\in K^o\subseteq K\subseteq W$ così ${x}\times K\subseteq U$.
Considero $U_K:={x\in X : {x}\times K\subseteq U}$. Allora $U_K$ è un aperto saturo di $X$. Infatti:
Sia $x\in U_K$; per ogni $z\in K$ esistono due aperti $W_x^z : x\in W_x \subseteq X$ e $W_z:z\in W_z\subseteq Z$ tai che $W_x\times W_z\subseteq X\times Z$. Ma $W_z:z\in K$ è un ricoprimento aperto di $K$ dal quale estraggo un sottoricoprimento finito, $W_1,\ldots, W_n$. Allora $W_x:=W_x^1\cap \ldots \cap W_x^n$ è un intorno di $x$ è $W_x\times K \subseteq U$, così $x\in W_x\subseteq U_K$, ossia $x$ è interno a $U_K$.
Allora $x\in U_K\times K^o\subseteq U$ e $x\in p(U_K)\times K^o\subseteq V$; poichè $p^(-1)(p(U_K))=U_K$, segue che $p(U_K)$ è aperto.
Allora $p\times 1_Z : X\times Z \to Y\times Z$ è una mappa di identificazione.
Dim: Sia $V\subseteq Y\times Z$ tale che $U:=(p\times 1_Z)^(-1)(V)$ è aperto in $X\times Z$.
Sia $(x,z)\in U$; allora esiste un aperto $W:z\in W\subseteq Z$ tale che ${x}\times W\subseteq X\times Z$. Per ipotesi esiste un compatto $K:z\in K^o\subseteq K\subseteq W$ così ${x}\times K\subseteq U$.
Considero $U_K:={x\in X : {x}\times K\subseteq U}$. Allora $U_K$ è un aperto saturo di $X$. Infatti:
Sia $x\in U_K$; per ogni $z\in K$ esistono due aperti $W_x^z : x\in W_x \subseteq X$ e $W_z:z\in W_z\subseteq Z$ tai che $W_x\times W_z\subseteq X\times Z$. Ma $W_z:z\in K$ è un ricoprimento aperto di $K$ dal quale estraggo un sottoricoprimento finito, $W_1,\ldots, W_n$. Allora $W_x:=W_x^1\cap \ldots \cap W_x^n$ è un intorno di $x$ è $W_x\times K \subseteq U$, così $x\in W_x\subseteq U_K$, ossia $x$ è interno a $U_K$.
Allora $x\in U_K\times K^o\subseteq U$ e $x\in p(U_K)\times K^o\subseteq V$; poichè $p^(-1)(p(U_K))=U_K$, segue che $p(U_K)$ è aperto.
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