Prodotti semidiretti - classificazione gruppi finiti
Buongiorno a tutti.
Sto studiando il prodotto semidiretto di gruppi, ed in particolare la sua applicazione alla scomposizione di un gruppo in prodotto semidiretto di suoi sottogruppi. Partiamo dal seguente
Teorema: Sia \(\displaystyle G \) un gruppo, e siano \(\displaystyle H,N
2) \(\displaystyle H\cap N=\{1\} \);
3) \(\displaystyle NH=G \);
allora \(\displaystyle G\simeq N\rtimes_\phi H \), dove \(\displaystyle \phi:H\rightarrow Aut(N) \) e \(\displaystyle \phi(h) \) è il coniugio mediante \(\displaystyle h \).
Quando cerco di risolvere un problema del tipo "classificare i gruppi di ordine \(\displaystyle n \)", di solito procedo in questo modo: mostro (tramite Sylow o altro) che esistono \(\displaystyle N \) e \(\displaystyle H \) sottogruppi di Sylow tali che siano soddisfatte la \(\displaystyle 1,2,3 \). A questo punto, so quello che mi dice il teorema, ma in generale non so come operano gli automorfismi di coniugio su \(\displaystyle N \); però posso almeno limitare superiormente il numero di classi di isomorfismo in questo modo: il numero di classi è minore o uguale al numero di coniugati di \(\displaystyle H \) (difatti una volta che è ben chiaro quali sono \(\displaystyle N \) e \(\displaystyle H \), l'omomorfismo \(\displaystyle \phi:H\rightarrow Aut(N) \) è definito di conseguenza). Per classificare, studio prima la struttura di \(\displaystyle Aut(N) \) e successivamente mi determino tutti i possibili omomorfismi \(\displaystyle H\rightarrow Aut(N) \) per ogni possibilità di \(\displaystyle H \) (a meno di isomorfismi). A questo punto devo escludere i prodotti semidiretti che sono isomorfi. Quindi chiedo: sotto quali condizioni su \(\displaystyle \phi_1 ,\phi_2 \) i prodotti semidiretti \(\displaystyle N\rtimes_{\phi_1} H \) e \(\displaystyle N\rtimes_{\phi_2} H \) sono isomorfi? Se \(\displaystyle H_1 \) e \(\displaystyle H_2 \) non sono isomorfi allora \(\displaystyle N\rtimes_f H_1 \) e \(\displaystyle N\rtimes_g H_2 \) possono essere isomorfi?
Grazie a tutti, siate clementi ho scoperto cosa sono i prodotti semidiretti solo ieri.
Sono ben accetti anche testi di riferimento, finora ho usato l'Artin ma non vi è alcun accenno riguardo i prodotti semidiretti.
Sto studiando il prodotto semidiretto di gruppi, ed in particolare la sua applicazione alla scomposizione di un gruppo in prodotto semidiretto di suoi sottogruppi. Partiamo dal seguente
Teorema: Sia \(\displaystyle G \) un gruppo, e siano \(\displaystyle H,N
2) \(\displaystyle H\cap N=\{1\} \);
3) \(\displaystyle NH=G \);
allora \(\displaystyle G\simeq N\rtimes_\phi H \), dove \(\displaystyle \phi:H\rightarrow Aut(N) \) e \(\displaystyle \phi(h) \) è il coniugio mediante \(\displaystyle h \).
Quando cerco di risolvere un problema del tipo "classificare i gruppi di ordine \(\displaystyle n \)", di solito procedo in questo modo: mostro (tramite Sylow o altro) che esistono \(\displaystyle N \) e \(\displaystyle H \) sottogruppi di Sylow tali che siano soddisfatte la \(\displaystyle 1,2,3 \). A questo punto, so quello che mi dice il teorema, ma in generale non so come operano gli automorfismi di coniugio su \(\displaystyle N \); però posso almeno limitare superiormente il numero di classi di isomorfismo in questo modo: il numero di classi è minore o uguale al numero di coniugati di \(\displaystyle H \) (difatti una volta che è ben chiaro quali sono \(\displaystyle N \) e \(\displaystyle H \), l'omomorfismo \(\displaystyle \phi:H\rightarrow Aut(N) \) è definito di conseguenza). Per classificare, studio prima la struttura di \(\displaystyle Aut(N) \) e successivamente mi determino tutti i possibili omomorfismi \(\displaystyle H\rightarrow Aut(N) \) per ogni possibilità di \(\displaystyle H \) (a meno di isomorfismi). A questo punto devo escludere i prodotti semidiretti che sono isomorfi. Quindi chiedo: sotto quali condizioni su \(\displaystyle \phi_1 ,\phi_2 \) i prodotti semidiretti \(\displaystyle N\rtimes_{\phi_1} H \) e \(\displaystyle N\rtimes_{\phi_2} H \) sono isomorfi? Se \(\displaystyle H_1 \) e \(\displaystyle H_2 \) non sono isomorfi allora \(\displaystyle N\rtimes_f H_1 \) e \(\displaystyle N\rtimes_g H_2 \) possono essere isomorfi?
Grazie a tutti, siate clementi ho scoperto cosa sono i prodotti semidiretti solo ieri.
Sono ben accetti anche testi di riferimento, finora ho usato l'Artin ma non vi è alcun accenno riguardo i prodotti semidiretti.
Risposte
prova a dimostrarti questo(non è difficile)
siano
\(\displaystyle f:H\rightarrow H \)
\(\displaystyle g:N\rightarrow N \)
isomorfismi.
siano invece \(\displaystyle F_1:H\rightarrow Aut(N) \) e \(\displaystyle F_2:H\rightarrow Aut(N) \)
tali che per ogni \(\displaystyle n \) in \(\displaystyle N \) e ogni \(\displaystyle h \) in \(\displaystyle H \) vale $(g^(-1)@F_2(f(h))@g)(n)=(F_1(b))(n)$.
allora \(\displaystyle i:\displaystyle N\rtimes_{F_1} H \rightarrow \displaystyle N\rtimes_{F_2} H \) $i(n,h)=(g(n),f(h))$
è un'isomorfismo.
in particolare,se poni $f=id$, ottieni una condizione sufficente molto carina,cioè che se $F_1$ e $F_2$ sono "coniugate" tramite un automorfismo di $N$ allora i rispettivi prodotti semidiretti sono isomorfi.
siano
\(\displaystyle f:H\rightarrow H \)
\(\displaystyle g:N\rightarrow N \)
isomorfismi.
siano invece \(\displaystyle F_1:H\rightarrow Aut(N) \) e \(\displaystyle F_2:H\rightarrow Aut(N) \)
tali che per ogni \(\displaystyle n \) in \(\displaystyle N \) e ogni \(\displaystyle h \) in \(\displaystyle H \) vale $(g^(-1)@F_2(f(h))@g)(n)=(F_1(b))(n)$.
allora \(\displaystyle i:\displaystyle N\rtimes_{F_1} H \rightarrow \displaystyle N\rtimes_{F_2} H \) $i(n,h)=(g(n),f(h))$
è un'isomorfismo.
in particolare,se poni $f=id$, ottieni una condizione sufficente molto carina,cioè che se $F_1$ e $F_2$ sono "coniugate" tramite un automorfismo di $N$ allora i rispettivi prodotti semidiretti sono isomorfi.
Ora provo e scriverò in questo messaggio la dimostrazione, grazie. La questione del limite superiore al numero di classi di isomorfismo è corretta?
DIMOSTRAZIONE:
Il fatto che \(\displaystyle i:N\rtimes_{F_1} H \rightarrow N\rtimes_{F_2} H \) tale che \(\displaystyle i(n,h)=(g(n),f(h)) \) sia una bigezione è immediato, dalla biunivocità di \(\displaystyle g \) e \(\displaystyle f \). Mostriamo che si tratta di un omomorfismo: si ha
\(\displaystyle i((n_1,h_1)*_{F_1}(n_2,h_2))=i(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2),h_1 h_2)=(g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2)),f(h_1 h_2)) \). Ora, sfruttiamo la proprietà nelle ipotesi: si ha \(\displaystyle g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2))=g(n_1)g( {F_1}_{h_1}(n_2)) =g(n_1) {F_2}_{f(h_1)}(g(n_2)) \), da cui \(\displaystyle (g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2)),f(h_1 h_2))=(g(n_1) {F_2}_{f(h_1)}(g(n_2)),f(h_1 h_2))=(g(n_1),f(h_1))*_{F_2} (g(n_2),f(h_2)) \), come volevasi dimostrare. (Le notazioni fanno veramente schifo)
Vale anche il viceversa? (Cioè se i due prodotti semidiretti sono isomorfi esistono \(\displaystyle g,h \) isomorfismi tali che etc etc...)
DIMOSTRAZIONE:
Il fatto che \(\displaystyle i:N\rtimes_{F_1} H \rightarrow N\rtimes_{F_2} H \) tale che \(\displaystyle i(n,h)=(g(n),f(h)) \) sia una bigezione è immediato, dalla biunivocità di \(\displaystyle g \) e \(\displaystyle f \). Mostriamo che si tratta di un omomorfismo: si ha
\(\displaystyle i((n_1,h_1)*_{F_1}(n_2,h_2))=i(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2),h_1 h_2)=(g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2)),f(h_1 h_2)) \). Ora, sfruttiamo la proprietà nelle ipotesi: si ha \(\displaystyle g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2))=g(n_1)g( {F_1}_{h_1}(n_2)) =g(n_1) {F_2}_{f(h_1)}(g(n_2)) \), da cui \(\displaystyle (g(n_1 {F_1}_{h_1}(n_2)),f(h_1 h_2))=(g(n_1) {F_2}_{f(h_1)}(g(n_2)),f(h_1 h_2))=(g(n_1),f(h_1))*_{F_2} (g(n_2),f(h_2)) \), come volevasi dimostrare. (Le notazioni fanno veramente schifo)
Vale anche il viceversa? (Cioè se i due prodotti semidiretti sono isomorfi esistono \(\displaystyle g,h \) isomorfismi tali che etc etc...)
la questione del limite superiore al numero di classi di isomorfismo sinceramente non l'ho capita molto bene.
il viceversa non è vero,in quanto l'isomorfismo tra i 2 prodotti non è detto che sia sempre il prodotto di due isomorfismi tra i fattori.
il viceversa non è vero,in quanto l'isomorfismo tra i 2 prodotti non è detto che sia sempre il prodotto di due isomorfismi tra i fattori.
"paolo.papadia":
la questione del limite superiore al numero di classi di isomorfismo sinceramente non l'ho capita molto bene.
il viceversa non è vero,in quanto l'isomorfismo tra i 2 prodotti non è detto che sia sempre il prodotto di due isomorfismi tra i fattori.
Ora che rileggo, devo aver fatto un pò di confusione nel primo messaggio . Tuttavia, sempre riguardo a tale questione, ho ragionato così:
Supponiamo di voler classificare i gruppi di ordine $n$. Sia $G$ di ordine $n$. Supponiamo che il solo fatto che $|G|=n$ implichi che $G$ deve avere due sottogruppi $N$ e $H$, di cui $N$ normale, tali che $NH=G$ e $N\cap H=\{1\}$. Determiniamo tutti i possibili prodotti semidiretti di due gruppi $\tilde{N}$ e $\tilde{H}$, dove $|\tilde{N}|=|N|$ e $|\tilde{H}|=|H|$. Allora $G$ sarà isomorfo ad uno di questi prodotto semidiretti. Inoltre, ognuno di questi prodotti semidiretti ha ordine $n$, e quindi classificare i gruppi di ordine $n$ è equivalente a classificare tali prodotti semidiretti. Sia $\mathcal{N}$ un insieme di scelta per l'insieme delle classi di isomorfismo dei gruppi di ordine $|N|$, e sia $\mathcal{H}$ un insieme di scelta per l'insieme delle classi di isomorfismo dei gruppi di ordine $|H|$. Sia inoltre $x_{N,H}$ il numero di omomorfismi $H\rightarrow Aut(N)$. Allora si ha
\[
\left(\mbox{n. gruppi di ordine } n \right)\leq\sum_{\begin{array}{c}
N\in\mathcal{N}\\
H\in\mathcal{H}
\end{array}}x_{N,H}.
\]
Spesso la disuguaglianza è valida strettamente. Ad esempio, il Teorema enunciato prima ci fornisce una condizione sufficiente sugli omomorfismi $H\rightarrow Aut(N)$ affinchè i due prodotti semidiretti di $N$ e $H$ siano isomorfi. La disuguaglianza difatto acquista una qualche utilità quando gli ordini di \(\displaystyle N \) e \(\displaystyle H \) sono primi: in questo caso, basta contare gli omomorfismi \(\displaystyle H\rightarrow Aut(N) \).
Questo ragionamento è corretto?
"bestiedda2":
Supponiamo che il solo fatto che $|G|=n$ implichi che $G$ deve avere due sottogruppi $N$ e $H$, di cui $N$ normale, tali che $NH=G$ e $N\cap H=\{1\}$.
Una volta fatta questa supposizione è tutto corretto, però ti avviso che è falsa; per trovare controesempi ti basta cercare tra i gruppi ciclici.
"paolo.papadia":
Una volta fatta questa supposizione è tutto corretto, però ti avviso che è falsa; per trovare controesempi ti basta cercare tra i gruppi ciclici.
Certo non è vero in generale, ma in alcuni casi particolari lo è. Ad esempio per \(\displaystyle n=70 \) esiste sicuramente un sottogruppo normale \(\displaystyle N \) di ordine \(\displaystyle 7 \) e un sottogruppo \(\displaystyle H \) di ordine \(\displaystyle 10 \) (dai teoremi di Sylow), per cui si ha \(\displaystyle NH=G \) e \(\displaystyle N\cap H=\{1\} \).
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