Problemino con i sottogruppi ciclici
Salve,
ho un esercizio apparentemente banale (ma per me non lo è) che non so risolvere:
Allora date le seguenti permutazioni in S8 devo trovare :
1) struttura in cicli disgiunti
2) il segno
3) sottogruppo ciclico in S8 da esso generato
| 1 2 3 4 5 6 7 8 |
| 3 5 4 1 6 2 8 7 |
la prima e seconda domanda sono banali, il problema invece ce l'ho con il sottogruppo ciclico.
Non so proprio come approcciare.
Spero che qualcuno mi sappia dare la dritta che cerco.
grazie in anticipo
ho un esercizio apparentemente banale (ma per me non lo è) che non so risolvere:
Allora date le seguenti permutazioni in S8 devo trovare :
1) struttura in cicli disgiunti
2) il segno
3) sottogruppo ciclico in S8 da esso generato
| 1 2 3 4 5 6 7 8 |
| 3 5 4 1 6 2 8 7 |
la prima e seconda domanda sono banali, il problema invece ce l'ho con il sottogruppo ciclico.
Non so proprio come approcciare.
Spero che qualcuno mi sappia dare la dritta che cerco.
grazie in anticipo
Risposte
benvenuto/a nel forum.
quella scrittura dovrebbe essere una matrice 2x8, e ti dice che 1 va in 3, 3 va in 4, 4 va in 1, dunque chiude il ciclo (134),
2 va in 5, 5 va in 6, 6 va in 2, chiude il ciclo (256),
7 va in 8 e 8 va in 7, dunque il ciclo è (78)
la permutazione, come prodotto di cicli disgiunti, si può scrivere dunque (134)(256)(78).
quale potenza di tale permutazione è l'identità? m.c.m.(3,3,2)=6 ...
prova un po' a ragionare ed a continuare da solo. facci sapere. ciao.
quella scrittura dovrebbe essere una matrice 2x8, e ti dice che 1 va in 3, 3 va in 4, 4 va in 1, dunque chiude il ciclo (134),
2 va in 5, 5 va in 6, 6 va in 2, chiude il ciclo (256),
7 va in 8 e 8 va in 7, dunque il ciclo è (78)
la permutazione, come prodotto di cicli disgiunti, si può scrivere dunque (134)(256)(78).
quale potenza di tale permutazione è l'identità? m.c.m.(3,3,2)=6 ...
prova un po' a ragionare ed a continuare da solo. facci sapere. ciao.
considera anche i periodi dei singoli cicli disgiunti
Niente da fare, non ci ho capito niente.
Sono disperato
Datemi qualche altro indizio per favore!!!
Sono disperato
Datemi qualche altro indizio per favore!!!
facci capire dove trovi difficoltà.
come leggi la scrittura del testo e come interpreti la permutazione?
come leggi la scrittura del testo e come interpreti la permutazione?
Vediamo se riesco a farti capire dove trovo la difficoltà.
Sn è un gruppo che possiamo anche chiamare gruppo delle permutazioni su n elementi (giusto?).
Una permutazione è una biiezione, quindi S8 è un gruppo di permutazioni su 8 elementi.
Trasformare la scrittura in prodotto di cicli disgiunti è semplice e l'ho già fatto e il risultato come anche te mi hai suggerito è (134)(256)(78).
Il sottogruppo che devo trovare dovrebbe essere definito in modo tale che a sia il generatore e che a^n dovrebbe dare come risultato comunque un elemento che appartiene al gruppo (che è S8). Qui mi perdo.
Mi hai suggerito:
quale potenza di tale permutazione è l'identità? m.c.m.(3,3,2)=6 ... , ma purtroppo non riesco a capire
mistake89 mi ha anche suggerito di considerare i periodi dei singoli cicli disgiunti, ma non riesco lo stesso a vedere la connessione.
A questo punto ti chiederei di darmi la soluzione, magari corredata di una semplice spiegazione. Forse analizzandola riuscirò a capirci qualcosa (spero!).
Sn è un gruppo che possiamo anche chiamare gruppo delle permutazioni su n elementi (giusto?).
Una permutazione è una biiezione, quindi S8 è un gruppo di permutazioni su 8 elementi.
Trasformare la scrittura in prodotto di cicli disgiunti è semplice e l'ho già fatto e il risultato come anche te mi hai suggerito è (134)(256)(78).
Il sottogruppo che devo trovare dovrebbe essere definito in modo tale che a sia il generatore e che a^n dovrebbe dare come risultato comunque un elemento che appartiene al gruppo (che è S8). Qui mi perdo.
Mi hai suggerito:
quale potenza di tale permutazione è l'identità? m.c.m.(3,3,2)=6 ... , ma purtroppo non riesco a capire
mistake89 mi ha anche suggerito di considerare i periodi dei singoli cicli disgiunti, ma non riesco lo stesso a vedere la connessione.
A questo punto ti chiederei di darmi la soluzione, magari corredata di una semplice spiegazione. Forse analizzandola riuscirò a capirci qualcosa (spero!).
mettendo insieme quello che non hai capito del mio suggerimento ed il suggerimento di mistake89, ti suggerisco ora di fare un semplice ed utile esercizio:
sei in grado di scrivere le potenze di (134), (256), (78) ?
sei in grado di scrivere le potenze di (134), (256), (78) ?
E' questo che non capisco!!! 
sento che stai per farmi fare la svolta ..... 
bene, abbiamo centrato il problema. aspetto novità.
Allora vediamo un po', i periodi dei singoli cicli sono 3, 3, 2.
per calcolare il periodo del gruppo devo fare il m.c.m. che è 6? e poi?
per calcolare il periodo del gruppo devo fare il m.c.m. che è 6? e poi?
adesso che altro ti serve?
riparti dalle definizioni che per me sono un vago ricordo ma per te dovrebbero essere "pane quotidiano".
se non ti sono chiare, riportale. che cos'è il segno di una permutazione? che cosa caratterizza un gruppo?
riparti dalle definizioni che per me sono un vago ricordo ma per te dovrebbero essere "pane quotidiano".
se non ti sono chiare, riportale. che cos'è il segno di una permutazione? che cosa caratterizza un gruppo?
pensa anche a cosa significa periodo di un elemento...
inoltre sai che $sigma^n$ $=gamma_1^n gamma_2^n...gamma_m^n$ dove $gamma_i$ sono i cicli disgiunti?
a questo punto dovresti essere in grado facilmente di concludere
inoltre sai che $sigma^n$ $=gamma_1^n gamma_2^n...gamma_m^n$ dove $gamma_i$ sono i cicli disgiunti?
a questo punto dovresti essere in grado facilmente di concludere
vediamo un po' ho approfondito un po' gli studi
allora ripartiamo dai cicli disgiunti ricavati: (134)(256)(78)
(134) significa 1->3 -> 4 -> 1 ; la sua potenza (correggetemi se sbaglio) è: (134), (143) ed e (el.neutro)
(256), (265) ed e, mentre (78) ed e.
abbiamo quindi
$s^2 = (134)^2 (256)^2 (78)^2 = (143)(265)e
$s^3 = (134)^3 (256)^3 (78)^3 = e e (78)
$s^4 = (134)^4 (256)^4 (78)^4 = (134)(256)e
$s^5 = (134)^5 (256)^5 (78)^5 = (143)(265)(78)
$s^6 = (134)^6 (256)^6 (78)^6 = e e e = e$
dove vediamo che appunto l'elemento neutro appare quando $s^6$
Fin qui è diventato abbastanza chiaro.
Ora se devo dare risposta alla domanda : determinare il sottogruppo ciclico in S8 generato dalla matrice delle permutazioni, come lo devo scrivere? Qual'è il generatore ?
allora ripartiamo dai cicli disgiunti ricavati: (134)(256)(78)
(134) significa 1->3 -> 4 -> 1 ; la sua potenza (correggetemi se sbaglio) è: (134), (143) ed e (el.neutro)
(256), (265) ed e, mentre (78) ed e.
abbiamo quindi
$s^2 = (134)^2 (256)^2 (78)^2 = (143)(265)e
$s^3 = (134)^3 (256)^3 (78)^3 = e e (78)
$s^4 = (134)^4 (256)^4 (78)^4 = (134)(256)e
$s^5 = (134)^5 (256)^5 (78)^5 = (143)(265)(78)
$s^6 = (134)^6 (256)^6 (78)^6 = e e e = e$
dove vediamo che appunto l'elemento neutro appare quando $s^6$
Fin qui è diventato abbastanza chiaro.
Ora se devo dare risposta alla domanda : determinare il sottogruppo ciclico in S8 generato dalla matrice delle permutazioni, come lo devo scrivere? Qual'è il generatore ?
ti sei dato la risposta anche sul segno della permutazione?
$s$ con tutte le sue potenze devono far parte dello stesso sottogruppo, ma quelle distinte sono appunto 6 e tra esse c'è l'elemento neutro, e inoltre per ognuno di tali elementi c'è anche l'inverso: ti è chiaro? qual è l'inversa della permutazione $s$ ? e della $s^2$ ? ...
$s$ con tutte le sue potenze devono far parte dello stesso sottogruppo, ma quelle distinte sono appunto 6 e tra esse c'è l'elemento neutro, e inoltre per ognuno di tali elementi c'è anche l'inverso: ti è chiaro? qual è l'inversa della permutazione $s$ ? e della $s^2$ ? ...
(14)(13)(26)(25)(78) 5 permutazioni,disparo, segno -1. Giusto?
L'inversa di s è (431)(652)(87) (??)
di $s^2 (341)(562)e$ (?????)
però sto' perdendomi di nuovo...
ma a che serve in questo caso il segno?
certo che ce ne hai di pazienza co ' sto capoccione
L'inversa di s è (431)(652)(87) (??)
di $s^2 (341)(562)e$ (?????)
però sto' perdendomi di nuovo...
ma a che serve in questo caso il segno?
certo che ce ne hai di pazienza co ' sto capoccione
sì, le "trasposizioni" sono 5, dunque è una permutazione dispari.
si può anche vedere che un ciclo di lunghezza 3 è pari, un ciclo di lunghezza 2 è dispari.
per le inverse, non c'entra nulla il segno.
riprendi la definizione di elemento inverso, e vedi anche perché è importante cercare le inverse (a proposito di gruppi...).
... la pazienza non mi manca ...
se sono riuscita a farti studiare e a farti arrivare "da solo" alle risposte, è una soddisfazione!
si può anche vedere che un ciclo di lunghezza 3 è pari, un ciclo di lunghezza 2 è dispari.
per le inverse, non c'entra nulla il segno.
riprendi la definizione di elemento inverso, e vedi anche perché è importante cercare le inverse (a proposito di gruppi...).
... la pazienza non mi manca ...
se sono riuscita a farti studiare e a farti arrivare "da solo" alle risposte, è una soddisfazione!
in realtà l'hai già risolto l'esercizio ma non ti sei reso conto di averlo fatto!
se la tua permutazione la chiami $sigma$ il gruppo $$=${sigma^n|n in NN}$
non ti resta che mettere insieme i pezzi che hai scritto... l'esercizio l'hai già risolto ti ripeto
se la tua permutazione la chiami $sigma$ il gruppo $
non ti resta che mettere insieme i pezzi che hai scritto... l'esercizio l'hai già risolto ti ripeto
vuoi forse dire <6>?
che intendi per <6> ?
la risposta è $$ o $$ a seconda di come chiami la tua permutazione.
sono $6$ permutazioni distinte, $s^6=e$ che è l'identità, oltre a questa $s^3$ è anch'essa inversa di se stessa, $s^2$ e $s^4$ tra loro inverse, $s$ ed $s^5$ tra loro inverse. poiché tutte le potenze di $s$ devono appartenere al sottogruppo, poiché tra esse c'è l'elemento neutro ed ogni elemento ha un suo inverso, per questo le $6$ permutazioni formano un gruppo (con l'operazione di composizione). ci sei?
la risposta è $
sono $6$ permutazioni distinte, $s^6=e$ che è l'identità, oltre a questa $s^3$ è anch'essa inversa di se stessa, $s^2$ e $s^4$ tra loro inverse, $s$ ed $s^5$ tra loro inverse. poiché tutte le potenze di $s$ devono appartenere al sottogruppo, poiché tra esse c'è l'elemento neutro ed ogni elemento ha un suo inverso, per questo le $6$ permutazioni formano un gruppo (con l'operazione di composizione). ci sei?
Adesso mi è tutto più chiaro, se mi aveste dato subito la risposta non ci avrei capito probabilmente niente!
siete stati genitlissimi ad aiutarmi ad affrontare questa odissea.
Vi ringrazio e vi dico già da ora che se avrò ancora dubbi su qualche altro problema (e ne avrò di sicuro...) mi farò sentire di nuovo.
Grazie grazie e ancora grazie
siete stati genitlissimi ad aiutarmi ad affrontare questa odissea.
Vi ringrazio e vi dico già da ora che se avrò ancora dubbi su qualche altro problema (e ne avrò di sicuro...) mi farò sentire di nuovo.
Grazie grazie e ancora grazie
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