Problemi sulle estensioni di campi
1) Determinare una Q-base dell'estensione $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3) $ e mostrare che $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3)=Q( \sqrt 2 + \sqrt 3 ) $
Allora.. una Q-base di $ Q( \sqrt 2 )$ è $ {1,\sqrt 2} $ mentre una $ Q( \sqrt 2) $-base di $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3) $ è $ {1, \sqrt 3} $ quindi la Q-base cercata è $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $.
è chiaro che $ Q( \sqrt 2 + \sqrt 3 ) \subseteq Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $. Per mostrare che vale anche l'altra inclusione ho pensato di far vedere che il generico elemento di $ Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $ (che è una combinazione lineare di $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $) si può esprimere come somma di potenze di $ (\sqrt 2 + \sqrt 3) $ di grado al più 3 con i coefficienti in Q. Infatti
$ q_0+q_1 \sqrt 2 +q_2 \sqrt 3 +q_3 \sqrt 6 $ = $ 1/2 ((2q_0-5q_3)+(11q_2-9q_1)(\sqrt 2 + \sqrt 3)+q_3(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2+(q_1-q_2)(\sqrt 2 + \sqrt 3)^3) $
A parte i calcoli, il metodo è giusto o sbagliato?
Allora.. una Q-base di $ Q( \sqrt 2 )$ è $ {1,\sqrt 2} $ mentre una $ Q( \sqrt 2) $-base di $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3) $ è $ {1, \sqrt 3} $ quindi la Q-base cercata è $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $.
è chiaro che $ Q( \sqrt 2 + \sqrt 3 ) \subseteq Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $. Per mostrare che vale anche l'altra inclusione ho pensato di far vedere che il generico elemento di $ Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $ (che è una combinazione lineare di $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $) si può esprimere come somma di potenze di $ (\sqrt 2 + \sqrt 3) $ di grado al più 3 con i coefficienti in Q. Infatti
$ q_0+q_1 \sqrt 2 +q_2 \sqrt 3 +q_3 \sqrt 6 $ = $ 1/2 ((2q_0-5q_3)+(11q_2-9q_1)(\sqrt 2 + \sqrt 3)+q_3(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2+(q_1-q_2)(\sqrt 2 + \sqrt 3)^3) $
A parte i calcoli, il metodo è giusto o sbagliato?
Risposte
2) Determinare il campo di spezzamento su $ Q $ dei seguenti polinomi:
a) $x^3-1$
b) $x^3-5$
c) $x^4+1$
Svolgimento
a) Le radici sono 1 e $ {-1 \pm i \sqrt 3}/2 $ quindi il campo di spezzamento è $ Q( i \sqrt3) $
b) Le radici sono $ 5^{1/3}$ e ${5^{1/3}}/2 (-1 \pm i \sqrt 3) $ quindi il campo di spezzamento è $ Q(5^{1/3}, i \sqrt3) $
c) Radici $ \pm 1/2 (\sqrt2 + i \sqrt2) $ e $ \pm 1/2 (\sqrt2 - i \sqrt2) $ quindi $ Q(\sqrt 2 , i \sqrt 2 ) $
Sto facendo bene?
a) $x^3-1$
b) $x^3-5$
c) $x^4+1$
Svolgimento
a) Le radici sono 1 e $ {-1 \pm i \sqrt 3}/2 $ quindi il campo di spezzamento è $ Q( i \sqrt3) $
b) Le radici sono $ 5^{1/3}$ e ${5^{1/3}}/2 (-1 \pm i \sqrt 3) $ quindi il campo di spezzamento è $ Q(5^{1/3}, i \sqrt3) $
c) Radici $ \pm 1/2 (\sqrt2 + i \sqrt2) $ e $ \pm 1/2 (\sqrt2 - i \sqrt2) $ quindi $ Q(\sqrt 2 , i \sqrt 2 ) $
Sto facendo bene?
Il metodo che hai usato nel primo esercizio è giusto.
Anche il metodo che hai usato nel secondo esercizio è giusto e le soluzioni dovrebbero essere quelle (in generale sono sempre delle radici dell'unità o simili). Quando lavori con estensioni di campi finiti ci sarà più divertimento
Anche il metodo che hai usato nel secondo esercizio è giusto e le soluzioni dovrebbero essere quelle (in generale sono sempre delle radici dell'unità o simili). Quando lavori con estensioni di campi finiti ci sarà più divertimento
Grazie mille. Vedrò di darmi da fare anche con i campi finiti 
3) Trovare un campo di spezzamento per i seguenti polinomi
a) $ x^4-x $ su $Z_2$
b) $x^4+1$ su $Z_2$
c) $x^3+x+2$ su $Z_3$
e determinarne il grado.
Le mie risposte:
a) $x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)(x^2+x+1)$ e in $Z_2$ il polinomio $x^2+x+1$ è irriducibile perchè privo di radici, pertanto il campo di spezzamento è $F \cong {Z_2[x]}/{(x^2+x+1)}$ e $(F:Z_2)=2$
b) Il polinomio si può decomporre completamente in $Z_2$ infatti $x^4+1=(x+1)^4$
c) $x^3+x+2 = (x+1)(x^2-x+2)$ Il polinomio $x^2-x+2$ non ha radici in $Z_3$ pertanto un campo di spezzamento è ${Z_3[x]} / {(x^2-x+2)}$ che ha grado 2.
a) $ x^4-x $ su $Z_2$
b) $x^4+1$ su $Z_2$
c) $x^3+x+2$ su $Z_3$
e determinarne il grado.
Le mie risposte:
a) $x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)(x^2+x+1)$ e in $Z_2$ il polinomio $x^2+x+1$ è irriducibile perchè privo di radici, pertanto il campo di spezzamento è $F \cong {Z_2[x]}/{(x^2+x+1)}$ e $(F:Z_2)=2$
b) Il polinomio si può decomporre completamente in $Z_2$ infatti $x^4+1=(x+1)^4$
c) $x^3+x+2 = (x+1)(x^2-x+2)$ Il polinomio $x^2-x+2$ non ha radici in $Z_3$ pertanto un campo di spezzamento è ${Z_3[x]} / {(x^2-x+2)}$ che ha grado 2.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo