Problemi sul rivestimento e gruppo fondamentale
Salve a tutti, sto preparando un esame di Topologia Differenziale (frequento un'università di fisica) e non riesco a capire alcuni risultati inseriti nel programma, vi posto direttamente i miei problemi sperando che qualche buon'anima mi chiarisca un pò le idee..
1) Dimostrare che $SU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(3)$.
Per questa dimostrazione ho seguito questo percorso: prima ho dimostrato che $S^3$ è isomorfo ai quaternioni unitari che a loro volta sono isomorfi a $SU(2)$, dopodiché ho dimostrato che $S^3$ è un ricoprimento di $SO(3)$, per arrivare a dimostrare che $SU(2)$ è un ricoprimento di $SO(3)$. Non ho fatto personalmente questa dimostrazione (sinceramente non ne sarei stato in grado), ma ho trovato le "parti" di questa dimostrazione in vari libri/dispense.
I risultati mi sono abbastanza chiari, il procedimento un pò meno..
2) Dimostrare che il gruppo fondamentale di $SO(3)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_2$.
Durante la dimostrazione precedente si arriva a scrivere $SO(3)\congS^3/(\mathbb{Z}_2)$, infatti, considerando una mappa $\rho:S^3\rightarrowSO(3)$ definita come $x \mapsto qxq^(-1)$, dove $q$ è un quaterione unitario e $x \in \mathbb{R}^3$, si dimostra che $Im(\rho) = SO(3)$, $Ker(\rho) = \mathbb{Z}_2$ e che $Im(\rho)=S^3/(Ker(\rho))$.
A questo punto mi viene da chiedere: in tutti gli esempi che ho trovato finora ho visto che se abbiamo un gruppo topologico $G$ semplicemente connesso e un suo sottogruppo normale discreto $H$ allora il gruppo quoziente $F:=G/H$ ha come ricoprimento $G$ (universale perché $G$ è semplicemente connesso) e gruppo fondamentale isomorfo ad $H$. Ovvero mi verrebbe da dire che, se $F=G/H$, allora si può definire una mappa $\phi:G\rightarrowF$ suriettiva che è un rivestimento di $F$, inoltre $F=Im(\phi)$ e $\pi_1(F)\congH=Ker(\phi)$.
Questa osservazione è vera? Sempre, con ulteriori ipotesi o in generale no? Posso concludere l'esercizio 2) scrivendo che $\pi_1(SO(3))\congIm(\rho)=\mathbb{Z}_2$?
3) Dimostrare che $SU(2)\timesSU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(4)$.
A differenza dei punti precedenti non ho trovato dimostrazioni per me "comprensibili", forse sarei in grado di dimostrare che $SO(4)\cong(SU(2)\timesSU(2))/(\mathbb{Z}_2)$. Se quanto detto prima fosse vero allora potrei dire che $SU(2)\timesSU(2)$ ricopre $SO(4)$ e che $\mathbb{Z}_2$ è isomorfo al gruppo fondamentale di $SO(4)$, cose effettivamente vere..
La materia è molto interessante ma anche molto astratta, non riesco a capire se sto sbagliando tutto o qualcosa ho capito bene.. Se qualcuno potesse darmi qualche conferma, indicazione, consiglio o dimostrazione alternativa per questi problemi mi sarebbe veramente di aiuto, grazie a tutti.
1) Dimostrare che $SU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(3)$.
Per questa dimostrazione ho seguito questo percorso: prima ho dimostrato che $S^3$ è isomorfo ai quaternioni unitari che a loro volta sono isomorfi a $SU(2)$, dopodiché ho dimostrato che $S^3$ è un ricoprimento di $SO(3)$, per arrivare a dimostrare che $SU(2)$ è un ricoprimento di $SO(3)$. Non ho fatto personalmente questa dimostrazione (sinceramente non ne sarei stato in grado), ma ho trovato le "parti" di questa dimostrazione in vari libri/dispense.
I risultati mi sono abbastanza chiari, il procedimento un pò meno..
2) Dimostrare che il gruppo fondamentale di $SO(3)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_2$.
Durante la dimostrazione precedente si arriva a scrivere $SO(3)\congS^3/(\mathbb{Z}_2)$, infatti, considerando una mappa $\rho:S^3\rightarrowSO(3)$ definita come $x \mapsto qxq^(-1)$, dove $q$ è un quaterione unitario e $x \in \mathbb{R}^3$, si dimostra che $Im(\rho) = SO(3)$, $Ker(\rho) = \mathbb{Z}_2$ e che $Im(\rho)=S^3/(Ker(\rho))$.
A questo punto mi viene da chiedere: in tutti gli esempi che ho trovato finora ho visto che se abbiamo un gruppo topologico $G$ semplicemente connesso e un suo sottogruppo normale discreto $H$ allora il gruppo quoziente $F:=G/H$ ha come ricoprimento $G$ (universale perché $G$ è semplicemente connesso) e gruppo fondamentale isomorfo ad $H$. Ovvero mi verrebbe da dire che, se $F=G/H$, allora si può definire una mappa $\phi:G\rightarrowF$ suriettiva che è un rivestimento di $F$, inoltre $F=Im(\phi)$ e $\pi_1(F)\congH=Ker(\phi)$.
Questa osservazione è vera? Sempre, con ulteriori ipotesi o in generale no? Posso concludere l'esercizio 2) scrivendo che $\pi_1(SO(3))\congIm(\rho)=\mathbb{Z}_2$?
3) Dimostrare che $SU(2)\timesSU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(4)$.
A differenza dei punti precedenti non ho trovato dimostrazioni per me "comprensibili", forse sarei in grado di dimostrare che $SO(4)\cong(SU(2)\timesSU(2))/(\mathbb{Z}_2)$. Se quanto detto prima fosse vero allora potrei dire che $SU(2)\timesSU(2)$ ricopre $SO(4)$ e che $\mathbb{Z}_2$ è isomorfo al gruppo fondamentale di $SO(4)$, cose effettivamente vere..
La materia è molto interessante ma anche molto astratta, non riesco a capire se sto sbagliando tutto o qualcosa ho capito bene.. Se qualcuno potesse darmi qualche conferma, indicazione, consiglio o dimostrazione alternativa per questi problemi mi sarebbe veramente di aiuto, grazie a tutti.
Risposte
Sì, certo che è vero: esiste una successione esatta corta di gruppi \[
0 \to H \to G\overset{\phi}\to F\to 0
\] e da questo (e dal fatto che questa è una successione di fibra, se $G,F$ sono gruppi topologici) ottieni che \(H\cong \pi_1(F)\cong \ker \phi\) usando un tronco della successione lunga in omotopia di questa fibrazione: esiste la successione esatta lunga di gruppi (abeliani: perché?) \[
\cdots\to\overset{\star}{\pi_1H} \to \pi_2G\to \pi_2F \to \overset{\star}{\pi_1H}\to\overset{\star}{\pi_1G}\to \pi_1F \to \pi_0H\to \overset{\star}{\pi_0G}\to \pi_0F\to 0
\] e adesso, siccome la successione è esatta e gli oggetti che ho segnato con una stella sono zero, si ha che esiste un isomorfismo $\pi_1F\cong \pi_0H$ (ora, per quale motivo $\pi_0H\cong H$?).
La parola magica è stata "discreto" (se è finito, \(\ker\phi\) lo è sempre nella topologia di sottospazio; e allora $\pi_{\ge 1}H=0$) e la seconda parola magica è "rivestimento universale", perché allora \(\pi_{\le 1}(G)=0\) e \(\pi_{\ge 2}(G)\cong \pi_{\ge 2}(F)\) (in gergo tecnico, il rivestimento universale è l'1-troncamento di Whitehead di $F$.
0 \to H \to G\overset{\phi}\to F\to 0
\] e da questo (e dal fatto che questa è una successione di fibra, se $G,F$ sono gruppi topologici) ottieni che \(H\cong \pi_1(F)\cong \ker \phi\) usando un tronco della successione lunga in omotopia di questa fibrazione: esiste la successione esatta lunga di gruppi (abeliani: perché?) \[
\cdots\to\overset{\star}{\pi_1H} \to \pi_2G\to \pi_2F \to \overset{\star}{\pi_1H}\to\overset{\star}{\pi_1G}\to \pi_1F \to \pi_0H\to \overset{\star}{\pi_0G}\to \pi_0F\to 0
\] e adesso, siccome la successione è esatta e gli oggetti che ho segnato con una stella sono zero, si ha che esiste un isomorfismo $\pi_1F\cong \pi_0H$ (ora, per quale motivo $\pi_0H\cong H$?).
La parola magica è stata "discreto" (se è finito, \(\ker\phi\) lo è sempre nella topologia di sottospazio; e allora $\pi_{\ge 1}H=0$) e la seconda parola magica è "rivestimento universale", perché allora \(\pi_{\le 1}(G)=0\) e \(\pi_{\ge 2}(G)\cong \pi_{\ge 2}(F)\) (in gergo tecnico, il rivestimento universale è l'1-troncamento di Whitehead di $F$.
E ti prego, fai altre domande su questa roba, perché qua ultimamente è un mortorio di gente che chiede qual è la derivata del coseno.
Da quanto non scrivi!
Colpa dei niubbi!
Bene, grazie! Mentre riguardo al ricoprimento? Posso dire che sotto queste ipotesi $G$ è il ricoprimento di $F$? E che $F=Im(\phi)$?
Grazie mille, davvero
La materia è veramente bella, vorrei poterci capire il più possibile, peccato che avendolo come esame da 6 crediti molti argomenti sono stati un pò "tralasciati".. Se sei/siete a conoscenza di libri/pdf/dispense in cui queste cose vengono fatte davvero bene per me è tutto oro che cola!
"killing_buddha":
E ti prego, fai altre domande su questa roba, perché qua ultimamente è un mortorio di gente che chiede qual è la derivata del coseno.
Grazie mille, davvero
La materia è veramente bella, vorrei poterci capire il più possibile, peccato che avendolo come esame da 6 crediti molti argomenti sono stati un pò "tralasciati".. Se sei/siete a conoscenza di libri/pdf/dispense in cui queste cose vengono fatte davvero bene per me è tutto oro che cola!
"killing_buddha":
Sì, certo che è vero: esiste una successione esatta corta di gruppi \[ 0 \to H \to G\overset{\phi}\to F\to 0 \] e da questo (e dal fatto che questa è una successione di fibra, se $ G,F $ sono gruppi topologici) ottieni che \( H\cong \pi_1(F)\cong \ker \phi \) usando un tronco della successione lunga in omotopia di questa fibrazione: esiste la successione esatta lunga di gruppi (abeliani: perché?) \[ \cdots\to\overset{\star}{\pi_1H} \to \pi_2G\to \pi_2F \to \overset{\star}{\pi_1H}\to\overset{\star}{\pi_1G}\to \pi_1F \to \pi_0H\to \overset{\star}{\pi_0G}\to \pi_0F\to 0 \] e adesso, siccome la successione è esatta e gli oggetti che ho segnato con una stella sono zero, si ha che esiste un isomorfismo $ \pi_1F\cong \pi_0H $ (ora, per quale motivo $ \pi_0H\cong H $?).
La parola magica è stata "discreto" (se è finito, \( \ker\phi \) lo è sempre nella topologia di sottospazio; e allora $ \pi_{\ge 1}H=0 $) e la seconda parola magica è "rivestimento universale", perché allora \( \pi_{\le 1}(G)=0 \) e \( \pi_{\ge 2}(G)\cong \pi_{\ge 2}(F) \) (in gergo tecnico, il rivestimento universale è l'1-troncamento di Whitehead di $ F $.
Ok, qua è un pò troppo avanzato per il mio livello attuale
"Il" rivestimento di $F$ non esiste, ne esiste un gruppoide non contraibile (precisamente lo spazio delle fibrazioni 1-connesse sopra $F$, non so se questa terminologia è standard ma non la voglio googlare).
Più precisamente, un rivestimento universale di $F$ è una qualsiasi scelta nel tipo di omotopia 1-troncato di $F$ (cioè uno spazio 1-connesso i cui altri gruppi di omotopia sono quelli di $F$). Qualsiasi spazio che abbia questa proprietà è "un" rivestimento universale di $F$, e ti ho appena dimostrato che $G$ ce l'ha.
Più precisamente, un rivestimento universale di $F$ è una qualsiasi scelta nel tipo di omotopia 1-troncato di $F$ (cioè uno spazio 1-connesso i cui altri gruppi di omotopia sono quelli di $F$). Qualsiasi spazio che abbia questa proprietà è "un" rivestimento universale di $F$, e ti ho appena dimostrato che $G$ ce l'ha.
Alternativamente, puoi derivare il risultato che ti interessa dal teorema fondamentale della teoria di Galois dei rivestimenti: vedi 3.3. qui.
Ok, purtroppo non ho ancora i mezzi per capire fino in fondo questi passaggi, ma sono riuscito a chiarire questo problema che mi stava bloccando da un paio di giorni, grazie mille! 
Grazie anche per questo pdf, mi sarà davvero utile!
"killing_buddha":
Alternativamente, puoi derivare il risultato che ti interessa dal teorema fondamentale della teoria di Galois dei rivestimenti: vedi 3.3. qui.
Grazie anche per questo pdf, mi sarà davvero utile!
Avrei anche un'altro dubbio, considerando la proiezione canonica $\pi:G\rightarrowF:=G/H$ definita come $g \mapsto [g]$, so come dimostrare che $H=Ker(\pi)$. La mia domanda è: la mappa $\phi$ che hai usato è la proiezione canonica? Se no, che ipotesi ci sono su $\phi$? La mappa $\pi$ è suriettiva ed è un omomorfismo tra gruppi, forse mi bastano queste ipotesi su $\phi$? Grazie ancora
Primo teorema di isomorfismo...
"killing_buddha":
Primo teorema di isomorfismo...
Oh perfetto, questo teorema mi mancava, finalmente ho risolto i miei dubbi. Grazie!
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