Problemi di induzione
Buongiorno a tutti,
devo dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale:
$2^0+2*2^1+3*2^2+...+n*2^(n-1)=(n-1)*2^n+1$
Mi blocco perchè il risultato per $(n+1)$ mi viene: $n*2^n-2^n+1+2^(n)*n+2^n$ che quindi non è il risultato che mi aspetto anche raccogliendo i termini.
Grazie mille!
devo dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale:
$2^0+2*2^1+3*2^2+...+n*2^(n-1)=(n-1)*2^n+1$
Mi blocco perchè il risultato per $(n+1)$ mi viene: $n*2^n-2^n+1+2^(n)*n+2^n$ che quindi non è il risultato che mi aspetto anche raccogliendo i termini.
Grazie mille!
Risposte
"Pozzetto":che è uguale a $2^n *(n-1+n+1) +1 = 2^n * 2n +1 = n* 2^(n+1) +1$
mi viene: $n*2^n-2^n+1+2^(n)*n+2^n$
Giusto, avevo sbagliato ripetutamente un segno come al solito!
Ma perchè il titolo è "problemi di iniezione"?
perchè ho una serie di esercizi da svolgere in merito alle dimostrazioni per induzione.
L'idea è quindi quella di sfruttare lo stesso topic per eventuali dubbi sullo stesso argomento e quindi di non aprirne di ulteriori.
L'idea è quindi quella di sfruttare lo stesso topic per eventuali dubbi sullo stesso argomento e quindi di non aprirne di ulteriori.
Induzione, non iniezione!
Sono con lo smartphone, capisce poco di matematica! XD
Ok, ora un dubbio sulle dimostrazioni per induzione con disuguaglianze.
Devo dimostrare che $AA n>4$ vale:
$2*3^n>9n^2$
Ho dimostrato che la proprietà è vera per $n=5$, ora devo dimostrarla per $n+1$.
Qui nascono i dubbi;
Ho provato così:
$2*3^(n+1)>9(n+1)^2$
$2*3^(n)*3>9(n+1)^2$
come continuare? Sul primo membro ho la definizione della proprietà che per ipotesi induttiva.....
Devo dimostrare che $AA n>4$ vale:
$2*3^n>9n^2$
Ho dimostrato che la proprietà è vera per $n=5$, ora devo dimostrarla per $n+1$.
Qui nascono i dubbi;
Ho provato così:
$2*3^(n+1)>9(n+1)^2$
$2*3^(n)*3>9(n+1)^2$
come continuare? Sul primo membro ho la definizione della proprietà che per ipotesi induttiva.....
Tu sai che $2*3^n> 9 n^2$.
Quindi $2*3^(n+1)= 3*2*3^n > 3*9n^2= 9 *(3n^2)>9(n+1)^2$
L'ultima disuguaglianza andrebbe giustificata:
$3n^2 >(n+1)^2 <=> sqrt3 n >n+1<=>(sqrt3 -1)n >1<=> n > 1/(sqrt3 -1 )sim 1.36602...$
Quindi $2*3^(n+1)= 3*2*3^n > 3*9n^2= 9 *(3n^2)>9(n+1)^2$
L'ultima disuguaglianza andrebbe giustificata:
$3n^2 >(n+1)^2 <=> sqrt3 n >n+1<=>(sqrt3 -1)n >1<=> n > 1/(sqrt3 -1 )sim 1.36602...$
"Gi8":
Tu sai che $2*3^n> 9 n^2$.
Quindi $2*3^(n+1)= 3*2*3^n > 3*9n^2= 9 *(3n^2)>9(n+1)^2$
L'ultima disuguaglianza andrebbe giustificata:
$3n^2 >(n+1)^2 <=> sqrt3 n >n+1<=>(sqrt3 -1)n >1<=> n > 1/(sqrt3 -1 )sim 1.36602...$
Da dove viene $>3*9n^2$ ? Il $3$ non capisco da dove salta fuori...
L'ipotesi induttiva è $2*3^n > 9 n^2$. Moltiplica ambo i membri per $3$.
Io per hp ind so che $2*3^n>9n^2$.
Voglio verificare la tesi che afferma: $2*3^(n+1)>9(n+1)^2$.
Corretto?
Voglio verificare la tesi che afferma: $2*3^(n+1)>9(n+1)^2$.
Corretto?
Corretto.
Se sai che vale $2* 3^n > 9 n^2$, puoi dire anche che vale $3* 2*3^n > 3*9 n^2$, no?
E' una proprietà delle disequazioni: puoi moltiplicare ambo i membri per un numero positivo e ottieni una disequazione equivalente
Se sai che vale $2* 3^n > 9 n^2$, puoi dire anche che vale $3* 2*3^n > 3*9 n^2$, no?
E' una proprietà delle disequazioni: puoi moltiplicare ambo i membri per un numero positivo e ottieni una disequazione equivalente
Ok, ora ho quest'altra:
$2^(n+1)<3^n$ valida $AA n>=2$
Ho verificato che vale per $n=2$.
Ora ho provato così: $2^(n+2)<3^(n+1)$ quindi $2^(n)*2*2<3^(n)*3$.
Io so che $2^(n)*2=2^(n+1)<3^n$ ma ora mi sono fermato...
$2^(n+1)<3^n$ valida $AA n>=2$
Ho verificato che vale per $n=2$.
Ora ho provato così: $2^(n+2)<3^(n+1)$ quindi $2^(n)*2*2<3^(n)*3$.
Io so che $2^(n)*2=2^(n+1)<3^n$ ma ora mi sono fermato...
Devi dimostrare che $2^(n+2) < 3^(n+1)$, che è equivalente a $2* 2^(n+1) < 3*3^n$
Tu sai che $2^(n+1)<3^n$, quindi ...
Tu sai che $2^(n+1)<3^n$, quindi ...
So anche che $2<3$ quindi con questo ho terminato la mia dimostrazione?
Esatto. Magari scrivila per intero.
Ok. Grazie.
Sto dimostrando che la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri dispari è: $(n(4n^(2)-1))/(3)$.
Alla fine ottengo che $20n=20$. Quindi $n=1$.
Ma non ho tratto nessuna conclusione così facendo.
Avrò sbagliato i calcoli o il procedimento?
Sto dimostrando che la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri dispari è: $(n(4n^(2)-1))/(3)$.
Alla fine ottengo che $20n=20$. Quindi $n=1$.
Ma non ho tratto nessuna conclusione così facendo.
Avrò sbagliato i calcoli o il procedimento?
"Pozzetto":Se posti il tuo tentativo, sarà possibile risponderti.
Avrò sbagliato i calcoli o il procedimento?
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