Problemi di algebra

[Nebula2]

come si può dimostrare che ogni gruppo con 15 elementi è commutativo?

e in generale, quanti elementi ha il gruppo diedrale $D_n$?

[Nidhogg]

(1) Sia $G$ un gruppo di ordine $15=3*5$. Ora per il Teorema di Sylow, ogni gruppo $G$ di ordine $p^i AA i=1,...,n$. Quindi il gruppo $G$ ha due sottogruppi di ordine, rispettivamente, 3 e 5. Poichè vi sono un solo 3-Sylow e un solo 5-Sylow, questi sono normali e $G$ ne è prodotto diretto. Essendo inoltre ogni gruppo di ordine $p$ abeliano, il 3-Sylow e il 5-Sylow sono abeliani, ergo anche $G$ è abeliano perchè prodotto diretto di gruppi abeliani.

(2) Il gruppo diedrale $D_n$ è il gruppo delle simmetrie di un poligono $P(n)$ (dove $n>=3$ è il numero dei lati), e contiene le $n$ rotazioni di $P(n)$ intorno al suo centro e le $n$ riflessioni rispetto agli $n$ assi di simmetria di $P(n)$. Quindi $|D(n)|=2*n$.

Saluti, Ermanno.

[Nebula2]

grassie

[Chevtchenko]

"Nidhogg":Poichè vi sono un solo 3-Sylow e un solo 5-Sylow

Come si vede questo?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Sandokan.":[quote="Nidhogg"]Poichè vi sono un solo 3-Sylow e un solo 5-Sylow

Come si vede questo?[/quote]

Probabilmente usando il terzo teorema di Sylow.

Ho fatto male a rispondere io?

[Chevtchenko]

"Martino":[quote="Sandokan."][quote="Nidhogg"]Poichè vi sono un solo 3-Sylow e un solo 5-Sylow

Come si vede questo?[/quote]

Probabilmente usando il terzo teorema di Sylow.

Ho fatto male a rispondere io? [/quote]

Si', la mia voleva essere una provocazione perche' non e' mica immediato...

[Nidhogg]

Grazie per avermelo fatto notare e scusatemi per la superficialità su quel punto. La prossima volta sarò più preciso quando vengono applicati altri teoremi in un punto della dimostrazione.

Saluti, Ermanno.